Exercício 72 : (FUVEST) Considere o polinômio P(x)=x^{4}+a x^{3}+b x^{2}+c x+d, onde a, b, c, d \in \mathbb{R}. Sabendo que P(1)=P(2)=P(3)=0 e P(4)=24, determine P(5).

Passo 1

O enunciado dá um polinômio de quarto grau
P(x)=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d
com P(1)=P(2)=P(3)=0 e P(4)=24, e pede P(5). O conteúdo aqui é o Teorema do Resto e fatoração de polinômios (teorema das raízes).

Passo 2

Como P(1)=P(2)=P(3)=0, o polinômio é divisível por (x-1)(x-2)(x-3). Logo podemos escrever
P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\,Q(x),
onde Q(x) é um polinômio de grau 1 (para totalizar grau 4).

Passo 3

Seja Q(x)=ax+b. Então o termo de grau 4 de P(x) é a\,x^4, mas sabemos que esse coeficiente vale 1. Logo
a=1 \qquad\Longrightarrow\qquad Q(x)=x+b.

Passo 4

Usamos a condição P(4)=24:
P(4)=(4-1)(4-2)(4-3)\,(4+b)=3\cdot2\cdot1\,(4+b)=6\,(4+b)=24.
Então
4+b=4 \qquad\Longrightarrow\qquad b=0.

Passo 5

Fica então
P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\,x
e para x=5
P(5)=5\cdot(5-1)\cdot(5-2)\cdot(5-3)=5\cdot4\cdot3\cdot2=120.

Resposta

120

Exercícios relacionados