Um poliedro convexo de 20 arestas e 10 vértices só possui faces triangulares e quadrangulares. Determine os números de faces de cada gênero.
Passo 1
Resumindo, temos um poliedro convexo com V=10 vértices e E=20 arestas, cujas faces são apenas triângulos ou quadriláteros. Vamos chamar de F_3 o número de faces triangulares e de F_4 o número de faces quadrangulares. Para determinar F_3 e F_4 vamos usar:
a fórmula de Euler para poliedros convexos, e
a contagem de arestas através do somatório do número de arestas de cada face.
Passo 2
Aplicando a fórmula de Euler:
V - E + F = 2,
onde F é o número total de faces. Como F=F_3+F_4, obtemos
10 - 20 + (F_3 + F_4) = 2
F_3 + F_4 = 12.
Passo 3
Agora contamos as arestas a partir das faces. Cada face triangular contribui com 3 arestas e cada face quadrangular com 4 arestas, mas cada aresta do poliedro é compartilhada por duas faces. Logo,