Um poliedro convexo de 20 arestas e 10 vértices só possui faces triangulares e quadrangulares. Determine os números de faces de cada gênero.

Passo 1

Resumindo, temos um poliedro convexo com V=10 vértices e E=20 arestas, cujas faces são apenas triângulos ou quadriláteros. Vamos chamar de F_3 o número de faces triangulares e de F_4 o número de faces quadrangulares. Para determinar F_3 e F_4 vamos usar:
  1. a fórmula de Euler para poliedros convexos, e
  2. a contagem de arestas através do somatório do número de arestas de cada face.

Passo 2

Aplicando a fórmula de Euler:
V - E + F = 2,
onde F é o número total de faces. Como F=F_3+F_4, obtemos
10 - 20 + (F_3 + F_4) = 2
F_3 + F_4 = 12.

Passo 3

Agora contamos as arestas a partir das faces. Cada face triangular contribui com 3 arestas e cada face quadrangular com 4 arestas, mas cada aresta do poliedro é compartilhada por duas faces. Logo,
3F_3 + 4F_4 = 2E = 2 \times 20 = 40.

Passo 4

Resolvendo o sistema
\begin{cases} F_3 + F_4 = 12,\\\\ 3F_3 + 4F_4 = 40, \end{cases}
podemos isolar F_3=12 - F_4 na primeira equação e substituir na segunda:
3(12 - F_4) + 4F_4 = 40 \quad\Longrightarrow\quad 36 - 3F_4 + 4F_4 = 40 \quad\Longrightarrow\quad F_4 = 4.
Então
F_3 = 12 - F_4 = 12 - 4 = 8.

Resposta

O poliedro possui 8 faces triangulares e 4 faces quadrangulares.

Exercícios relacionados