Exercício 77. Calcule \iiint_{W} d x d y d z, onde W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4, z^{2} \geq\right. \left.x^{2}+y^{2}, z \geq 0\right\}.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
O enunciado pede o volume do conjunto W.
O conjunto W éW=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4,\; z^{2}\ge x^{2}+y^{2},\; z\ge 0\}.
Informações importantes extraídas do enunciado:
x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4 significa que estamos dentro da esfera centrada na origem de raio 2.
z^{2}\ge x^{2}+y^{2} com z\ge 0 implica z\ge \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Ou seja, estamos na parte superior da esfera, mas apenas onde a coordenada z é maior ou igual à distância ao eixo z no plano xy.
O objetivo é calcular \iiint_{W} d x d y d z, ou seja, o volume do domínio W.
Passo 2
Escolha do sistema de coordenadas e por que: usar coordenadas esféricas é muito conveniente aqui.
Explicando coordenadas esféricas (aula rápida e intuitiva):
Em coordenadas esféricas usa-se três variáveis (\rho,\varphi,\theta) onde\rho\ge 0é a distância do ponto à origem,\varphi\in[0,\pi]é o ângulo medido a partir do eixo z positivo (ângulo polar),\theta\in[0,2\pi)é o ângulo no plano xy (azimutal).
As transformações sãox=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
O elemento de volume édV = \rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.Intuição para o fator \rho^{2}\sin\varphi: em esféricas o pequeno paralelepípedo tem lados aproximadamente d\rho, \rho\, d\varphi e \rho\sin\varphi\, d\theta; multiplicando dá \rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Passo 3
Traduzir as desigualdades que definem W para coordenadas esféricas e determinar os limites de integração.
A esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4 vira \rho^{2}\le 4, ou seja0 \le \rho \le 2.
A condição z\ge \sqrt{x^{2}+y^{2}} em esféricas é\rho\cos\varphi \ge \rho\sin\varphi.Como \rho>0 nessa desigualdade podemos dividir por \rho e obter\cos\varphi \ge \sin\varphi.Isso é equivalente a\tan\varphi \le 1,ou seja0 \le \varphi \le \frac{\pi}{4}.(Também temos z\ge0 que corresponde a \varphi\in[0,\pi/2], e a interseção é [0,\pi/4].)
Não há restrição em \theta além do giro completo em torno do eixo z, então0 \le \theta \le 2\pi.
Montar a integral tripla em coordenadas esféricas.
O volume pedido é
\iiint_{W} dV = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/4}\!\int_{0}^{2} \rho^{2}\sin\varphi \, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Explicando a estrutura: integra-se primeiro em \rho (distância radial), depois no ângulo polar \varphi, e por fim no ângulo azimutal \theta. A função integranda é apenas o jacobiano \rho^{2}\sin\varphi porque o integrando original é 1 (volume).
Como verificação rápida: o volume da esfera inteira de raio 2 é \dfrac{4}{3}\pi(2^{3})=\dfrac{32\pi}{3}. A fração do espaço sólido com \varphi\in[0,\pi/4] é \dfrac{1-\cos(\pi/4)}{2}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}; multiplicando \dfrac{32\pi}{3} por essa fração dá exatamente \dfrac{8\pi}{3}(2-\sqrt{2}), conferindo coerência.