Exercício 77. Calcule \iiint_{W} d x d y d z, onde W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4, z^{2} \geq\right. \left.x^{2}+y^{2}, z \geq 0\right\}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado pede o volume do conjunto W.
  • O conjunto W é W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4,\; z^{2}\ge x^{2}+y^{2},\; z\ge 0\}.
  • Informações importantes extraídas do enunciado:
    • x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4 significa que estamos dentro da esfera centrada na origem de raio 2.
    • z^{2}\ge x^{2}+y^{2} com z\ge 0 implica z\ge \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Ou seja, estamos na parte superior da esfera, mas apenas onde a coordenada z é maior ou igual à distância ao eixo z no plano xy.
O objetivo é calcular \iiint_{W} d x d y d z, ou seja, o volume do domínio W.

Passo 2

Escolha do sistema de coordenadas e por que: usar coordenadas esféricas é muito conveniente aqui.
Explicando coordenadas esféricas (aula rápida e intuitiva):
  • Em coordenadas esféricas usa-se três variáveis (\rho,\varphi,\theta) onde \rho\ge 0é a distância do ponto à origem, \varphi\in[0,\pi]é o ângulo medido a partir do eixo z positivo (ângulo polar), \theta\in[0,2\pi)é o ângulo no plano xy (azimutal).
  • As transformações são x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
  • O elemento de volume é dV = \rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.Intuição para o fator \rho^{2}\sin\varphi: em esféricas o pequeno paralelepípedo tem lados aproximadamente d\rho, \rho\, d\varphi e \rho\sin\varphi\, d\theta; multiplicando dá \rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.

Passo 3

Traduzir as desigualdades que definem W para coordenadas esféricas e determinar os limites de integração.
  • A esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4 vira \rho^{2}\le 4, ou seja 0 \le \rho \le 2.
  • A condição z\ge \sqrt{x^{2}+y^{2}} em esféricas é \rho\cos\varphi \ge \rho\sin\varphi.Como \rho>0 nessa desigualdade podemos dividir por \rho e obter \cos\varphi \ge \sin\varphi.Isso é equivalente a \tan\varphi \le 1,ou seja 0 \le \varphi \le \frac{\pi}{4}.(Também temos z\ge0 que corresponde a \varphi\in[0,\pi/2], e a interseção é [0,\pi/4].)
  • Não há restrição em \theta além do giro completo em torno do eixo z, então 0 \le \theta \le 2\pi.
Portanto os limites em esféricas são
0\le \theta\le 2\pi,\qquad 0\le \varphi\le \frac{\pi}{4},\qquad 0\le\rho\le 2.

Passo 4

Montar a integral tripla em coordenadas esféricas.
O volume pedido é
\iiint_{W} dV = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/4}\!\int_{0}^{2} \rho^{2}\sin\varphi \, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Explicando a estrutura: integra-se primeiro em \rho (distância radial), depois no ângulo polar \varphi, e por fim no ângulo azimutal \theta. A função integranda é apenas o jacobiano \rho^{2}\sin\varphi porque o integrando original é 1 (volume).

Passo 5

Calcular a integral em \rho:
\int_{0}^{2} \rho^{2}\, d\rho = \left.\frac{\rho^{3}}{3}\right|_{0}^{2} = \frac{2^{3}}{3}=\frac{8}{3}.

Passo 6

Substituir o resultado da integral em \rho e calcular a integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi/4} \sin\varphi\, d\varphi = \left.-\cos\varphi\right|_{0}^{\pi/4} = -\cos\frac{\pi}{4} + \cos 0 = 1 - \cos\frac{\pi}{4}.
Sabendo que \cos\frac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, temos
1 - \cos\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2-\sqrt{2}}{2}.

Passo 7

Calcular a integral em \theta (simples):
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.

Passo 8

Combinar todos os fatores para obter o volume:
A integral total vale
\left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right)\left(\int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\, d\varphi\right)\left(\int_{0}^{2}\rho^{2}\, d\rho\right) = 2\pi \cdot \frac{2-\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{8}{3}.
Agora simplificar passo a passo:
2\pi \cdot \frac{2-\sqrt{2}}{2} = \pi(2-\sqrt{2}),
então
\pi(2-\sqrt{2})\cdot \frac{8}{3} = \frac{8\pi}{3}(2-\sqrt{2}).
Também se pode expandir:
\frac{8\pi}{3}(2-\sqrt{2})=\frac{16\pi}{3}-\frac{8\sqrt{2}\,\pi}{3}.
Como verificação rápida: o volume da esfera inteira de raio 2 é \dfrac{4}{3}\pi(2^{3})=\dfrac{32\pi}{3}. A fração do espaço sólido com \varphi\in[0,\pi/4] é \dfrac{1-\cos(\pi/4)}{2}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}; multiplicando \dfrac{32\pi}{3} por essa fração dá exatamente \dfrac{8\pi}{3}(2-\sqrt{2}), conferindo coerência.

Resposta

\dfrac{8\pi}{3}\bigl(2-\sqrt{2}\bigr)

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