Exercício 78. Calcule \iiint_{W} d x d y d z, onde W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4, z^{2} \leq\right. \left.x^{2}+y^{2}, z \leq 0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{W} d x\, d y\, d z,
onde o conjunto W é dado por
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4,\; z^{2}\le x^{2}+y^{2},\; z\le 0\}.
As informações relevantes fornecidas são:
  • A desigualdade x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4 descreve a bola sólida de raio 2 centrada na origem.
  • A desigualdade z^{2}\le x^{2}+y^{2} é equivalente a |z|\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • A condição z\le 0 restringe à metade inferior (parte com z não positivo).
    A integral pedida é a integral de 1 sobre W, ou seja, o volume da região W.

Passo 2

Escolha de coordenadas e motivo: por simetria em torno do eixo z e pela presença de x^{2}+y^{2}, é natural usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) com as transformações
x = r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z.
Explicando a parte técnica: em coordenadas cilíndricas o elemento de volume vale
dV = r\, dr\, d\theta\, dz,
porque o fator r é o jacobiano da transformação — intuitivamente ele representa a “espessura angular” quando se mede áreas/volumes em coordenadas polares/cilíndricas. Portanto a integral do volume vira uma integral tripla com integrando r.

Passo 3

Escrever as condições de W em coordenadas cilíndricas. Usando r^{2}=x^{2}+y^{2}, as desigualdades ficam:
r^{2}+z^{2}\le 4,\qquad z^{2}\le r^{2},\qquad z\le 0.
A segunda desigualdade é |z|\le r, e com z\le 0 isso equivale a
-r \le z \le 0.
A primeira desigualdade impõe também
-\sqrt{4-r^{2}}\le z\le \sqrt{4-r^{2}}.
A interseção desses intervalos em z (para um dado r) é
z\in\big[\,\max\{-\sqrt{4-r^{2}},\,-r\},\;0\,\big].
Portanto, para cada r válido, z vai de \max\{-\sqrt{4-r^{2}},-r\} até 0. O ângulo \theta percorre toda a volta:
\theta\in[0,2\pi).

Passo 4

Determinar para quais valores de r o limite inferior em z é -r e para quais valores é -\sqrt{4-r^{2}}. Comparamos as duas funções:
queremos saber quando
-\sqrt{4-r^{2}} \ge -r
ou, equivalentemente (multiplicando por -1, invertendo a desigualdade),
\sqrt{4-r^{2}} \le r.
Para r\ge 0 podemos elevar ao quadrado sem problemas:
4-r^{2} \le r^{2} \quad\Longrightarrow\quad 4 \le 2r^{2} \quad\Longrightarrow\quad r^{2}\ge 2 \quad\Longrightarrow\quad r\ge \sqrt{2}.
Conclusão:
  • Para 0\le r < \sqrt{2} temos \sqrt{4-r^{2}}>r, logo -\sqrt{4-r^{2}} < -r e o limite inferior é -r.
  • Para \sqrt{2}\le r \le 2 temos \sqrt{4-r^{2}}\le r, logo -\sqrt{4-r^{2}} \ge -r e o limite inferior é -\sqrt{4-r^{2}}.
    Observação: o valor máximo de r permissível pela esfera é r\le 2, pois r^{2}+z^{2}\le 4 implica r^{2}\le 4.

Passo 5

Montar a integral do volume como soma de duas integrais (uma para cada faixa de r):
\text{Vol}(W)=\int_{0}^{2\pi}\!\!\left(\int_{0}^{\sqrt{2}}\!\int_{z=-r}^{0} r\, dz\, dr \;+\; \int_{\sqrt{2}}^{2}\!\int_{z=-\sqrt{4-r^{2}}}^{0} r\, dz\, dr \right)d\theta.
Aqui cada integral interna corresponde ao comprimento em z para o dado r, multiplicado por r (jacobiano), e depois integra-se em r e \theta.

Passo 6

Calcular a integral na faixa 0\le r\le \sqrt{2} (primeiro termo). Primeiro integramos em z:
\int_{z=-r}^{0} r\, dz = r\big[z\big]_{-r}^{0} = r(0-(-r))=r^{2}.
Agora integrar em r e em \theta:
I_{1}=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\sqrt{2}} r^{2}\, dr\, d\theta = \left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right)\left(\int_{0}^{\sqrt{2}} r^{2}\, dr\right).
Calcule a integral em r:
\int_{0}^{\sqrt{2}} r^{2}\, dr = \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2})^{3}}{3}=\frac{2^{3/2}}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.
E a integral em \theta é 2\pi. Portanto
I_{1}=2\pi\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{4\pi\sqrt{2}}{3}.

Passo 7

Calcular a integral na faixa \sqrt{2}\le r\le 2 (segundo termo). Primeiro integramos em z:
\int_{z=-\sqrt{4-r^{2}}}^{0} r\, dz = r\big[z\big]_{-\sqrt{4-r^{2}}}^{0} = r\sqrt{4-r^{2}}.
Então
I_{2}=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{\sqrt{2}}^{2} r\sqrt{4-r^{2}}\, dr\, d\theta = 2\pi \int_{\sqrt{2}}^{2} r\sqrt{4-r^{2}}\, dr.
Para calcular a integral em r fazemos a substituição clássica u=4-r^{2}, assim du=-2r\,dr, logo r\,dr = -\dfrac{du}{2}. Quando r=\sqrt{2} temos u=4-2=2. Quando r=2 temos u=0. Portanto
\int_{\sqrt{2}}^{2} r\sqrt{4-r^{2}}\, dr = \int_{u=2}^{0} \sqrt{u}\left(-\frac{du}{2}\right) = \frac{1}{2}\int_{0}^{2} u^{1/2}\, du.
Calcule a integral em u:
\frac{1}{2}\int_{0}^{2} u^{1/2}\, du = \frac{1}{2}\left[\frac{u^{3/2}}{3/2}\right]_{0}^{2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\,u^{3/2}\Big|_{0}^{2} = \frac{1}{3}\, (2)^{3/2} = \frac{1}{3}\cdot 2\sqrt{2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.
Multiplicando por 2\pi obtemos
I_{2}=2\pi\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{4\pi\sqrt{2}}{3}.

Passo 8

Somamos as duas contribuições para obter o volume total:
\text{Vol}(W)=I_{1}+I_{2}=\frac{4\pi\sqrt{2}}{3}+\frac{4\pi\sqrt{2}}{3}=\frac{8\pi\sqrt{2}}{3}.
Se quiser ver em forma factorizada:
\text{Vol}(W)=\frac{8}{3}\,\pi\sqrt{2}.

Resposta

\dfrac{8\pi\sqrt{2}}{3}

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