Exercício 79. Calcule \iiint_{W} d x d y d z, onde W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 1 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 9, x \leq y \leq\right. \sqrt{3} x\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{W} dx\,dy\,dz,
onde a região W é dada por
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 1\le x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9,\; x\le y \le \sqrt{3}\,x\}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A condição 1\le x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9 descreve uma casca esférica (região entre duas esferas centradas na origem) com raios \sqrt{1}=1 e \sqrt{9}=3.
  • As desigualdades x\le y\le \sqrt{3}\,x restringem apenas as direções no plano xy (ou seja, um setor angular em torno do eixo z não depende de z nem do raio).
  • O que se pede é o volume dessa região W (porque a integral de 1 sobre W é o volume).

Passo 2

Escolha do sistema de coordenadas e explicação: é muito conveniente usar coordenadas esféricas para regiões que envolvem x^{2}+y^{2}+z^{2}, porque aí essa expressão fica simples. Em coordenadas esféricas usamos as seguintes representações:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi,
onde:
  • \rho\ge 0 é a distância ao origem,
  • \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar (medido a partir do eixo z),
  • \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy.
    Ao mudar de variáveis para esféricas, o elemento de volume dx\,dy\,dz é substituído por
dx\,dy\,dz = \rho^{2}\sin\varphi \; d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Esta expressão é o jacobiano da transformação; explicando rápido: aparece o fator \rho^{2} pela “área” radial e \sin\varphi pela projeção angular.

Passo 3

Traduzir a condição radial da região para esféricas: como
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2},
a desigualdade 1\le x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9 vira
1\le \rho^{2}\le 9 \quad\Longrightarrow\quad 1\le \rho\le 3,
porque \rho\ge 0. Logo o limite radial é \rho\in[1,3].

Passo 4

Traduzir as desigualdades angulares x\le y\le \sqrt{3}\,x para condições em \theta.
Usando x=\rho\sin\varphi\cos\theta e y=\rho\sin\varphi\sin\theta (e lembrando que \rho\sin\varphi\ge 0 para \rho\ge0 e \varphi\in[0,\pi]), as desigualdades tornam-se dependentes apenas de \theta:
  1. x\le y y-x\ge 0. Em esféricas:
y-x=\rho\sin\varphi(\sin\theta-\cos\theta)\ge 0
como \rho\sin\varphi\ge0, basta exigir
\sin\theta-\cos\theta\ge 0.
Escrever \sin\theta-\cos\theta=\sqrt{2}\sin(\theta-\pi/4). Então
\sqrt{2}\sin(\theta-\pi/4)\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad \sin(\theta-\pi/4)\ge 0.
A solução em [0,2\pi) é
\theta\in\bigl[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}\bigr].
  1. y\le \sqrt{3}\,x y-\sqrt{3}x\le 0. Em esféricas:
y-\sqrt{3}x=\rho\sin\varphi(\sin\theta-\sqrt{3}\cos\theta)\le 0.
Note que \sin\theta-\sqrt{3}\cos\theta = 2\sin(\theta-\pi/3) (verificação: amplitude \sqrt{1+3}=2 e fase \pi/3). Assim
2\sin(\theta-\pi/3)\le 0 \quad\Longrightarrow\quad \sin(\theta-\pi/3)\le 0.
A solução em [0,2\pi) é
\theta\in\bigl[0,\tfrac{\pi}{3}\bigr]\cup\bigl[\tfrac{4\pi}{3},2\pi\bigr).
Agora intersectamos as duas condições (pois ambas devem valer simultaneamente):
\bigl[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}\bigr]\cap\Bigl(\bigl[0,\tfrac{\pi}{3}\bigr]\cup\bigl[\tfrac{4\pi}{3},2\pi\bigr)\Bigr) = \bigl[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{3}\bigr].
Portanto o ângulo azimutal fica restrito a
\theta\in\bigl[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{3}\bigr].
Observação intuitiva: só o setor entre \pi/4 e \pi/3 satisfaz ambas as desigualdades simultaneamente no plano xy.

Passo 5

Montar a integral em coordenadas esféricas com os limites identificados:
\iiint_{W} dx\,dy\,dz =\int_{\theta=\pi/4}^{\pi/3}\int_{\varphi=0}^{\pi}\int_{\rho=1}^{3} \rho^{2}\sin\varphi \; d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Aqui cada limite foi explicado: \rho\in[1,3] (casca esférica), \varphi\in[0,\pi] (toda a variação polar já que não há restrição em z), e \theta\in[\pi/4,\pi/3] (setor em xy deduzido acima).

Passo 6

Calcular a integral passo a passo.
Integral em \rho:
\int_{1}^{3} \rho^{2}\, d\rho = \left[\frac{\rho^{3}}{3}\right]_{1}^{3} = \frac{27-1}{3} = \frac{26}{3}.
Integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi} \sin\varphi \, d\varphi = \left[-\cos\varphi\right]_{0}^{\pi} = -\cos\pi + \cos 0 = -(-1)+1 = 2.
Largura angular em \theta:
\int_{\pi/4}^{\pi/3} d\theta = \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}.
Multiplicando os três resultados:
\iiint_{W} dx\,dy\,dz = \frac{26}{3}\times 2 \times \frac{\pi}{12} = \frac{26}{3}\times \frac{\pi}{6} = \frac{26\pi}{18}.
Simplificando \dfrac{26\pi}{18}=\dfrac{13\pi}{9}.

Resposta

\dfrac{13\pi}{9}

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