Exercício 79. Calcule
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde a região
é dada por
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A condição
descreve uma casca esférica (região entre duas esferas centradas na origem) com raios e . - As desigualdades
restringem apenas as direções no plano (ou seja, um setor angular em torno do eixo não depende de nem do raio). - O que se pede é o volume dessa região
(porque a integral de sobre é o volume).
Passo 2
Escolha do sistema de coordenadas e explicação: é muito conveniente usar coordenadas esféricas para regiões que envolvem
, porque aí essa expressão fica simples. Em coordenadas esféricas usamos as seguintes representações:
onde:
-
é a distância ao origem, -
é o ângulo polar (medido a partir do eixo ), -
é o ângulo azimutal no plano .
Ao mudar de variáveis para esféricas, o elemento de volumeé substituído por
Esta expressão é o jacobiano da transformação; explicando rápido: aparece o fator
pela “área” radial e
pela projeção angular.
Passo 3
Traduzir a condição radial da região para esféricas: como
a desigualdade
vira
porque
. Logo o limite radial é
.
Passo 4
Traduzir as desigualdades angulares
para condições em
.
Usando
e
(e lembrando que
para
e
), as desigualdades tornam-se dependentes apenas de
:
-
⇔ . Em esféricas:
como
, basta exigir
Escrever
. Então
A solução em
é
-
⇔ . Em esféricas:
Note que
(verificação: amplitude
e fase
). Assim
A solução em
é
Agora intersectamos as duas condições (pois ambas devem valer simultaneamente):
Portanto o ângulo azimutal fica restrito a
Observação intuitiva: só o setor entre
e
satisfaz ambas as desigualdades simultaneamente no plano
.
Passo 5
Montar a integral em coordenadas esféricas com os limites identificados:
Aqui cada limite foi explicado:
(casca esférica),
(toda a variação polar já que não há restrição em
), e
(setor em
deduzido acima).
Passo 6
Calcular a integral passo a passo.
Integral em
:
Integral em
:
Largura angular em
:
Multiplicando os três resultados:
Simplificando
.