seja contínua no ponto a=1.
Informações dadas e o que se pede:
A função é dada de forma piecewise (por partes): uma expressão racional para x\neq1 e um valor b em x=1.
Queremos o valor de b\in\mathbb{R} que torna g contínua em x=1.
Não há nenhum outro dado; precisamos usar a definição de continuidade para encontrar b.]
Passo 2
Definição útil (a que vamos aplicar): uma função g é contínua em x=1 se, e somente se,
\lim_{x\to 1} g(x) = g(1).
Aqui g(1)=b. Portanto a condição de continuidade no ponto 1 vira a exigência
\lim_{x\to 1} \frac{(x^{3}-1)(x+1)}{x-1} = b.
Ou seja, precisamos calcular esse limite (da parte para x\neq1) e igualá‑lo a b.
Passo 3
Observação sobre o limite: a expressão dentro do limite é uma razão que, ao substituir x=1, dá forma indeterminada \frac{0}{0} porque x^{3}-1 e x-1 ambos se anulam em x=1. Quando aparece \frac{0}{0} é sinal que dá para tentar simplificar algebraicamente (fatorar e cancelar o fator comum) antes de avaliar o limite.
Passo 4
Fórmula de fatoração que vamos usar (diferença de cubos):
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).
Aplicando com a=x e b=1 obtemos
x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1).
Isso é uma identidade algébrica; ela explica por que o numerador tem um fator (x-1) que pode ser cancelado com o denominador.
Passo 5
Substituindo essa fatoração no numerador dentro da razão:
Para x\neq1 podemos cancelar o fator (x-1) no numerador com o denominador, obtendo a expressão equivalente (para x\neq1):
\frac{(x^{3}-1)(x+1)}{x-1}=(x^{2}+x+1)(x+1).
Passo 6
Depois do cancelamento, a expressão do limite ficou muito simples: é um polinômio em x. Polinômios são funções contínuas em todo ponto (propriedade básica), então o limite quando x\to1 é simplesmente o valor do polinômio em x=1. Assim,