Exercício 5. ( oo,80 ponto ) Determine o valor de b \in \mathbb{R} para que a função
g(x)=\left\{\begin{array}{r} \frac{\left(x^{3}-1\right)(x+1)}{x-1}, \quad \text { se } \quad x \neq 1 \\\ b, \quad \text { se } \quad x=1 \end{array}\right.
definida de \mathbb{R} em \mathbb{R}, seja contínua no ponto a=1. Justificar a argumentação apresentada.

Passo 1

O enunciado pede que a função
g(x)=\left\{\begin{array}{r} \displaystyle \frac{\left(x^{3}-1\right)(x+1)}{x-1}, \quad \text{se}\quad x\neq 1,\\[6pt] b, \quad \text{se}\quad x=1 \end{array}\right.
seja contínua no ponto a=1.
Informações dadas e o que se pede:
  • A função é dada de forma piecewise (por partes): uma expressão racional para x\neq1 e um valor b em x=1.
  • Queremos o valor de b\in\mathbb{R} que torna g contínua em x=1.
  • Não há nenhum outro dado; precisamos usar a definição de continuidade para encontrar b.]

Passo 2

Definição útil (a que vamos aplicar): uma função g é contínua em x=1 se, e somente se,
\lim_{x\to 1} g(x) = g(1).
Aqui g(1)=b. Portanto a condição de continuidade no ponto 1 vira a exigência
\lim_{x\to 1} \frac{(x^{3}-1)(x+1)}{x-1} = b.
Ou seja, precisamos calcular esse limite (da parte para x\neq1) e igualá‑lo a b.

Passo 3

Observação sobre o limite: a expressão dentro do limite é uma razão que, ao substituir x=1, dá forma indeterminada \frac{0}{0} porque x^{3}-1 e x-1 ambos se anulam em x=1. Quando aparece \frac{0}{0} é sinal que dá para tentar simplificar algebraicamente (fatorar e cancelar o fator comum) antes de avaliar o limite.

Passo 4

Fórmula de fatoração que vamos usar (diferença de cubos):
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).
Aplicando com a=x e b=1 obtemos
x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1).
Isso é uma identidade algébrica; ela explica por que o numerador tem um fator (x-1) que pode ser cancelado com o denominador.

Passo 5

Substituindo essa fatoração no numerador dentro da razão:
\frac{(x^{3}-1)(x+1)}{x-1} = \frac{(x-1)(x^{2}+x+1)(x+1)}{x-1}.
Para x\neq1 podemos cancelar o fator (x-1) no numerador com o denominador, obtendo a expressão equivalente (para x\neq1):
\frac{(x^{3}-1)(x+1)}{x-1}=(x^{2}+x+1)(x+1).

Passo 6

Depois do cancelamento, a expressão do limite ficou muito simples: é um polinômio em x. Polinômios são funções contínuas em todo ponto (propriedade básica), então o limite quando x\to1 é simplesmente o valor do polinômio em x=1. Assim,
\lim_{x\to 1} \frac{(x^{3}-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x\to 1} (x^{2}+x+1)(x+1) = (1^{2}+1+1)(1+1).

Passo 7

Calcule o valor numérico:
1^{2}+1+1 = 1+1+1 = 3, \qquad 1+1=2,
logo
(1^{2}+1+1)(1+1)=3\cdot 2=6.
Portanto o limite vale 6.

Passo 8

Voltando à condição de continuidade: precisamos que b=g(1) seja igual ao limite encontrado. Logo devemos tomar
b=6.
Com esse valor a função fica contínua em x=1 (pois o valor definido em 1 coincide com o limite da parte para x\neq1).

Resposta

b=6

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