Exercício 1. ( ou, 40 ponto cada item ) Provar por definição os limites seguintes:
(a) \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{1}{x}=-\infty
(b) \lim _{x \rightarrow 0^{+}}[2 x-7]=-7.

Passo 1

O enunciado pede que eu prove, usando a definição de limite, duas afirmações:
(a) Provar que \lim_{x\to 0^{-}} \dfrac{1}{x} = -\infty.
Informações dadas: a função é f(x)=\dfrac{1}{x} e a aproximação é feita pela esquerda de 0 (isto é, x<0 e x\to 0).
(b) Provar que \lim_{x\to 0^{+}} [2x-7] = -7.
Informações dadas: a função é g(x)=2x-7 e a aproximação é feita pela direita de 0 (isto é, x>0 e x\to 0).
Nenhuma outra informação é necessária; preciso usar as definições formais de limite lateral (para infinito no caso (a) e para limite finito no caso (b)) e demonstrar, passo a passo, que as condições da definição são satisfeitas.

Passo 2

Vou recordar as definições formais que vou usar (aqui explico com calma o que significa cada símbolo):
Definição para limite que vale -\infty pela esquerda: dizer que
\lim_{x\to 0^{-}} f(x) = -\infty
significa o seguinte: para todo número real M>0 existe \delta>0 tal que, sempre que x satisfaz -\delta < x < 0 (ou seja, x está suficientemente perto de 0 pela esquerda), então f(x) < -M.
  • Aqui M representa um “limiar” negativo grande em módulo (por exemplo M=100 quer dizer que quero provar que f(x) fica menor que -100 quando x está bem próximo de 0 pela esquerda).
  • \delta é a distância em que devo ficar de 0 (pela esquerda) para garantir isso.
Definição para limite finito pela direita: dizer que
\lim_{x\to 0^{+}} g(x) = L
significa: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0 < x < \delta (ou seja, x está suficientemente perto de 0 pela direita), então |g(x)-L|<\varepsilon.
  • Aqui \varepsilon é a precisão desejada e \delta é a distância da origem pela direita que garante essa precisão.
Agora vou aplicar essas definições especificamente para cada item.

Passo 3

Prova do item (a): \lim_{x\to 0^{-}} \dfrac{1}{x} = -\infty.
  1. Reescrevo a definição no caso concreto: preciso mostrar que para todo M>0 existe \delta>0 tal que, se -\delta < x < 0, então
\frac{1}{x} < -M.
  1. Resolvendo a desigualdade \dfrac{1}{x} < -M para x (atenção aos sinais):
    Como estamos considerando x<0, posso multiplicar a desigualdade por x, lembrando que ao multiplicar por um número negativo a desigualdade inverte o sentido. Multiplicando ambos os lados por x
1 < -M x.
Agora divido por -M. Como -M<0, ao dividir por -M a desigualdade inverte novamente; dividindo por -M (ou, equivalentemente, multiplicando por -1/M) obtenho
x > -\frac{1}{M}.
Portanto, a condição \dfrac{1}{x} < -M é equivalente, no contexto x<0, a exigir x > -\dfrac{1}{M}.
  1. Interpretação: se eu garantir que x pertence ao intervalo
\left(-\frac{1}{M},\,0\right),
então automaticamente \dfrac{1}{x} < -M.
  1. Escolha de \delta: para usar a definição, eu preciso de um \delta>0 tal que -\delta < x < 0 \Rightarrow x > -\dfrac{1}{M}. Uma escolha natural é
\delta = \frac{1}{M}.
Com essa escolha, a condição -\delta < x < 0 é exatamente -\dfrac{1}{M} < x < 0, e, por passo anterior, em tal intervalo temos \dfrac{1}{x} < -M.
  1. Conclusão: para qualquer M>0 tome \delta=\dfrac{1}{M}. Então, sempre que -\delta < x < 0 teremos \dfrac{1}{x} < -M. Isso verifica a definição de \lim_{x\to 0^{-}} \dfrac{1}{x} = -\infty. Intuição: quanto mais perto de 0 eu chego vindo pela esquerda (isto é, x é negativo com módulo pequeno), mais negativo fica \dfrac{1}{x}; a escolha \delta=1/M traduz isso quantitativamente.

Passo 4

Pequeno exemplo numérico para fixar (opcional, para entender): escolha M=100. Então \delta=1/100=0,01. Se x estiver entre -0,01 e 0 (por exemplo x=-0,001), então \dfrac{1}{x} = -1000 < -100. Legal — faz sentido e confirma a prova.

Passo 5

Prova do item (b): \lim_{x\to 0^{+}} [2x-7] = -7.
  1. Reescrevo a definição no caso concreto: quero mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0 < x < \delta, então
\bigl|\, (2x-7) - (-7)\,\bigr| < \varepsilon.
  1. Simplifico a expressão dentro do valor absoluto:
\bigl|\, (2x-7) - (-7)\,\bigr| = \bigl|\,2x-7+7\,\bigr| = \bigl|\,2x\,\bigr|.
Como estou considerando a aproximação pela direita ( x>0), tenho |2x| = 2x. Então a condição fica
2x < \varepsilon.
  1. Resolvo para x: da desigualdade 2x < \varepsilon segue
x < \frac{\varepsilon}{2}.
  1. Escolha de \delta: basta escolher
\delta = \frac{\varepsilon}{2}.
Assim, sempre que 0 < x < \delta teremos 2x < \varepsilon, ou seja |(2x-7)-(-7)|<\varepsilon.
  1. Conclusão: para qualquer \varepsilon>0 ao tomar \delta=\dfrac{\varepsilon}{2} satisfazemos a definição de limite lateral pela direita, portanto \lim_{x\to 0^{+}}[2x-7]=-7. Intuição: a parte que varia é 2x; aproximando x de 0 pela direita, 2x fica pequeno e a expressão fica cada vez mais próxima de -7.

Passo 6

Resumo didático rápido e encorajador: no (a) o objetivo era mostrar que a função fica arbitrariamente negativa quando x se aproxima de 0 pela esquerda — a escolha \delta=1/M formaliza isso. No (b) usamos a medida usual de proximidade com \varepsilon e escolhemos \delta=\varepsilon/2 porque o coeficiente de x é 2. Você consegue aplicar a mesma ideia em muitos exercícios: isolar a parte que depende de x, resolver a desigualdade para x e escolher \delta de acordo.

Resposta

(a) \lim_{x\to 0^{-}} \dfrac{1}{x} = -\infty
(b) \lim_{x\to 0^{+}} [2x-7] = -7

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