Exercício 4. ( ou, so ponto ) Supor que a função g: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} cumpra |g(x)| \leq x^{4} para todo x \in \mathbb{R}. Calcular
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x}
Justificar a argumentação apresentada.
Passo 1
O enunciado dá uma função g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} tal que |g(x)| \leq x^{4} para todo x\in\mathbb{R}. Pede-se calcular
\lim_{x\to 0}\frac{g(x)}{x}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A desigualdade |g(x)| \leq x^{4} vale para todo x, inclusive x=0.
Queremos o limite de \dfrac{g(x)}{x} quando x tende a 0 (isso envolve apenas valores de x\neq 0 na fração, mas a desigualdade vale também em 0).
Passo 2
Primeiro detalhe útil: avaliar a desigualdade em x=0. Da hipótese temos
|g(0)| \leq 0^{4}=0,
o que implica que |g(0)|=0 e, portanto, g(0)=0.
Isto é só para ficar claro o valor da função em 0; o limite pedido é sobre x\to 0 com x\neq 0.
Passo 3
Para x\neq 0 vamos manipular a desigualdade dada para obter uma estimativa para \dfrac{g(x)}{x}. Como x^{4}=|x|^{4}, dividindo |g(x)|\le x^{4} por |x| (positivo quando x\neq0) obtemos
\frac{|g(x)|}{|x|} \le |x|^{3}.
Usando a propriedade \dfrac{|g(x)|}{|x|}=|g(x)/x|, isso fica
Agora lembro o que diz o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem): se uma função h(x) satisfaz u(x)\le h(x)\le v(x) perto de 0 (exceto possivelmente em 0) e \lim_{x\to 0}u(x)=\lim_{x\to 0}v(x)=L, então \lim_{x\to 0}h(x)=L.
Passo 5
No nosso caso podemos tomar u(x)=-|x|^{3}, h(x)=\dfrac{g(x)}{x} e v(x)=|x|^{3}. Calculamos as duas funções limite: