Exercício
: Determine os autovalores e os autovetores correspondentes do operador linear
definido pela matriz:
Passo 1
O enunciado pede para determinar os autovalores e os autovetores do operador linear
cuja matriz em relação à base canônica é
Informações relevantes fornecidas:
- A matriz
é a indicada acima. - A tarefa é: (i) encontrar todos os autovalores
(valores escalares) tais que existe vetor não-nulo com ; (ii) para cada autovalor, encontrar os autovetores correspondentes (os vetores não-nulos que satisfazem ).]
Passo 2
Definição e estratégia (passo-a-passo didático): um autovalor
e um autovetor
satisfazem
que é equivalente a
Para existir
na equação homogênea acima, a matriz
deve ser singular, isto é,
Portanto a estratégia é: calcular o polinômio característico
, resolver
para
(esses serão os autovalores), e em seguida para cada
resolver linearmente
para obter os autovetores.
Observação prática útil (que ajuda na prova): para uma matriz triangular (superior ou inferior), os autovalores aparecem na diagonal. Aqui
é triangular superior, então os autovalores serão os elementos da diagonal:
e
. Vou confirmar isso explicitando o cálculo do polinômio característico.
Passo 3
Calcular o polinômio característico:
Para uma matriz
vale a fórmula
. Aplicando:
Agora resolver
:
As soluções são
Portanto os autovalores de
são
e
. (Confirma a observação sobre a diagonal.)]
Passo 4
Encontrar os autovetores associados a
Calcule
:
Se escrever
, a equação
dá o sistema linear
Ambas as equações reduzem a
, então
é livre (qualquer número real). Assim todos os vetores da forma
são autovetores associados a
. Em particular, uma escolha canônica é
. Em linguagem de espaços, o subespaço próprio é
Passo 5
Encontrar os autovetores associados a
Calcule
:
Com
, o sistema é
A primeira equação dá
. O subespaço próprio é
Passo 6
Interpretação final e dica para prova: os dois autovalores são distintos (
e
), e cada um tem um autovetor não-nulo associado. Vetores associados a autovalores distintos são linearmente independentes, então
tem uma base de autovetores e é diagonalizável (útil se precisar calcular potências de
na prova). Para aplicar esse processo em outros problemas: calcule
, encontre raízes
, e para cada raiz resolva
por eliminação gaussiana para obter o espaço próprio.