Exercício 8\left(\mathbb{R}^{2}\right) : Determine os autovalores e os autovetores correspondentes do operador linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definido pela matriz:
A=\left[\begin{array}{ll} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para determinar os autovalores e os autovetores do operador linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cuja matriz em relação à base canônica é
A=\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz A é a indicada acima.
  • A tarefa é: (i) encontrar todos os autovalores \lambda (valores escalares) tais que existe vetor não-nulo v com Av=\lambda v; (ii) para cada autovalor, encontrar os autovetores correspondentes (os vetores não-nulos v que satisfazem Av=\lambda v).]

Passo 2

Definição e estratégia (passo-a-passo didático): um autovalor \lambda e um autovetor v\neq 0 satisfazem
Av=\lambda v,
que é equivalente a
(A-\lambda I)v=0.
Para existir v\neq 0 na equação homogênea acima, a matriz A-\lambda I deve ser singular, isto é,
\det(A-\lambda I)=0.
Portanto a estratégia é: calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I), resolver \det(A-\lambda I)=0 para \lambda (esses serão os autovalores), e em seguida para cada \lambda resolver linearmente (A-\lambda I)v=0 para obter os autovetores.
Observação prática útil (que ajuda na prova): para uma matriz triangular (superior ou inferior), os autovalores aparecem na diagonal. Aqui A é triangular superior, então os autovalores serão os elementos da diagonal: 3 e 2. Vou confirmar isso explicitando o cálculo do polinômio característico.

Passo 3

Calcular o polinômio característico:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}3-\lambda & 1\\[4pt]0 & 2-\lambda\end{pmatrix}.
Para uma matriz 2\times2 vale a fórmula \det\!\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc. Aplicando:
\det(A-\lambda I)=(3-\lambda)(2-\lambda)-0\cdot 1=(3-\lambda)(2-\lambda).
Agora resolver \det(A-\lambda I)=0:
(3-\lambda)(2-\lambda)=0.
As soluções são
\lambda=3\quad\text{ou}\quad\lambda=2.
Portanto os autovalores de A são \lambda_1=3 e \lambda_2=2. (Confirma a observação sobre a diagonal.)]

Passo 4

Encontrar os autovetores associados a \lambda=3\). Devemos resolver \[(A-3I)v=0.
Calcule A-3I:
A-3I=\begin{pmatrix}3-3 & 1\\[4pt]0 & 2-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}.
Se escrever v=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}, a equação (A-3I)v=0 dá o sistema linear
\begin{cases} 0\cdot x + 1\cdot y = 0,\\[4pt] 0\cdot x -1\cdot y = 0. \end{cases}
Ambas as equações reduzem a y=0\]. Não há equação envolvendo \(x, então x é livre (qualquer número real). Assim todos os vetores da forma
v=\begin{pmatrix}x\\[4pt]0\end{pmatrix} \quad\text{com } x\neq 0
são autovetores associados a \lambda=3. Em particular, uma escolha canônica é v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}. Em linguagem de espaços, o subespaço próprio é
\operatorname{Eig}(3)=\operatorname{Span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}\right\}.]

Passo 5

Encontrar os autovetores associados a \lambda=2\). Devemos resolver \[(A-2I)v=0.
Calcule A-2I:
A-2I=\begin{pmatrix}3-2 & 1\\[4pt]0 & 2-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Com v=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}, o sistema é
\begin{cases} 1\cdot x + 1\cdot y = 0,\\[4pt] 0\cdot x + 0\cdot y = 0. \end{cases}
A primeira equação dá x=-y\]. A segunda é redundante. Assim os vetores solução têm a forma \[v=\begin{pmatrix}-y\\[4pt]y\end{pmatrix}=y\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad y\neq 0.\] Uma escolha conveniente de autovetor é \(v_2=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}. O subespaço próprio é
\operatorname{Eig}(2)=\operatorname{Span}\!\left\{\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}.]

Passo 6

Interpretação final e dica para prova: os dois autovalores são distintos ( 3 e 2), e cada um tem um autovetor não-nulo associado. Vetores associados a autovalores distintos são linearmente independentes, então A tem uma base de autovetores e é diagonalizável (útil se precisar calcular potências de A na prova). Para aplicar esse processo em outros problemas: calcule \det(A-\lambda I), encontre raízes \lambda, e para cada raiz resolva (A-\lambda I)v=0 por eliminação gaussiana para obter o espaço próprio.

Resposta

\lambda=3,\quad autovetores: \operatorname{Span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}\right\}\n
\lambda=2,\quad autovetores: \operatorname{Span}\!\left\{\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}]

Exercícios relacionados