Seja
. Mostre que
, onde
e
são as matrizes identidade e nula de ordem 3, respectivamente.
Passo 1
O enunciado fornece a matriz
e pede que se mostre a igualdade
onde
é a matriz identidade de ordem
e
é a matriz nula de ordem
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A matriz
está completamente especificada pelos seus 9 elementos. - Deve-se calcular
, multiplicar por escalares ( e ) e somar matrizes para verificar que o resultado é a matriz nula.]
Passo 2
Lembrete didático sobre operações que usarei:
- Produto de matrizes: se
e são matrizes , então o elemento na linha e coluna de é
ou seja, produto interno da i-ésima linha de
com a j-ésima coluna de
.
- Potência
significa . Em seguida . - Multiplicação por escalar:
. - Identidade
tem e demais entradas zero; é simplesmente 10 nos elementos diagonais.
Vou aplicar essas regras passo a passo nas contas.
Passo 3
Calcular
fazendo produto linha por coluna e mostrando cada entrada.
Cálculo linha 1 × colunas:
Cálculo linha 2 × colunas:
Cálculo linha 3 × colunas:
Portanto
Passo 4
Calcular
novamente entrada a entrada.
Usando
e
:
Linha 1 de
vezes colunas de
:
Linha 2 de
vezes colunas de
:
Linha 3 de
vezes colunas de
:
Então
Passo 5
Calcular
e
.
Multiplicação por escalar
:
A matriz identidade
de ordem
é
logo
Passo 6
Somar as matrizes
componente a componente.
Primeiro
:
Agora somar
:
O resultado é a matriz nula de ordem
.]