Seja A=\left[\begin{array}{rrr}1 & -2 & 2 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 1 & -1 & -3\end{array}\right]. Mostre que A^{3}-9 A+10 I=O, onde I e O são as matrizes identidade e nula de ordem 3, respectivamente.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 2 \\[4pt] 0 & 2 & 0 \\[4pt] 1 & -1 & -3\end{pmatrix}
e pede que se mostre a igualdade
A^{3}-9A+10I=O,
onde I é a matriz identidade de ordem 3 e O é a matriz nula de ordem 3.
Informações relevantes dadas:
  • A matriz A está completamente especificada pelos seus 9 elementos.
  • Deve-se calcular A^{3}, multiplicar A por escalares ( -9 e 10) e somar matrizes para verificar que o resultado é a matriz nula.]

Passo 2

Lembrete didático sobre operações que usarei:
  • Produto de matrizes: se B e C são matrizes 3\times3, então o elemento na linha i e coluna j de BC é
(BC)_{ij}=\sum_{k=1}^{3} B_{ik}\,C_{kj},
ou seja, produto interno da i-ésima linha de B com a j-ésima coluna de C.
  • Potência A^{2} significa A\cdot A. Em seguida A^{3}=A^{2}\cdot A.
  • Multiplicação por escalar: (\alpha A)_{ij}=\alpha\,(A_{ij}).
  • Identidade I tem I_{ii}=1 e demais entradas zero; 10I é simplesmente 10 nos elementos diagonais.
    Vou aplicar essas regras passo a passo nas contas.

Passo 3

Calcular A^{2}=A\cdot A fazendo produto linha por coluna e mostrando cada entrada.
A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 2 \\[4pt] 0 & 2 & 0 \\[4pt] 1 & -1 & -3\end{pmatrix}
Cálculo linha 1 × colunas:
\begin{aligned} (A^{2})_{11} &= 1\cdot1 + (-2)\cdot0 + 2\cdot1 = 1+0+2 = 3,\\[4pt] (A^{2})_{12} &= 1\cdot(-2) + (-2)\cdot2 + 2\cdot(-1) = -2 -4 -2 = -8,\\[4pt] (A^{2})_{13} &= 1\cdot2 + (-2)\cdot0 + 2\cdot(-3) = 2 + 0 -6 = -4. \end{aligned}
Cálculo linha 2 × colunas:
\begin{aligned} (A^{2})_{21} &= 0\cdot1 + 2\cdot0 + 0\cdot1 = 0,\\[4pt] (A^{2})_{22} &= 0\cdot(-2) + 2\cdot2 + 0\cdot(-1) = 4,\\[4pt] (A^{2})_{23} &= 0\cdot2 + 2\cdot0 + 0\cdot(-3) = 0. \end{aligned}
Cálculo linha 3 × colunas:
\begin{aligned} (A^{2})_{31} &= 1\cdot1 + (-1)\cdot0 + (-3)\cdot1 = 1+0-3 = -2,\\[4pt] (A^{2})_{32} &= 1\cdot(-2) + (-1)\cdot2 + (-3)\cdot(-1) = -2 -2 +3 = -1,\\[4pt] (A^{2})_{33} &= 1\cdot2 + (-1)\cdot0 + (-3)\cdot(-3) = 2 + 0 +9 = 11. \end{aligned}
Portanto
A^{2}=\begin{pmatrix}3 & -8 & -4 \\[4pt] 0 & 4 & 0 \\[4pt] -2 & -1 & 11\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular A^{3}=A^{2}\cdot A novamente entrada a entrada.
Usando A^{2}=\begin{pmatrix}3 & -8 & -4 \\[4pt] 0 & 4 & 0 \\[4pt] -2 & -1 & 11\end{pmatrix} e A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 2 \\[4pt] 0 & 2 & 0 \\[4pt] 1 & -1 & -3\end{pmatrix}:
Linha 1 de A^{2} vezes colunas de A:
\begin{aligned} (A^{3})_{11} &= 3\cdot1 + (-8)\cdot0 + (-4)\cdot1 = 3 + 0 -4 = -1,\\[4pt] (A^{3})_{12} &= 3\cdot(-2) + (-8)\cdot2 + (-4)\cdot(-1) = -6 -16 +4 = -18,\\[4pt] (A^{3})_{13} &= 3\cdot2 + (-8)\cdot0 + (-4)\cdot(-3) = 6 + 0 +12 = 18. \end{aligned}
Linha 2 de A^{2} vezes colunas de A:
\begin{aligned} (A^{3})_{21} &= 0\cdot1 + 4\cdot0 + 0\cdot1 = 0,\\[4pt] (A^{3})_{22} &= 0\cdot(-2) + 4\cdot2 + 0\cdot(-1) = 8,\\[4pt] (A^{3})_{23} &= 0\cdot2 + 4\cdot0 + 0\cdot(-3) = 0. \end{aligned}
Linha 3 de A^{2} vezes colunas de A:
\begin{aligned} (A^{3})_{31} &= (-2)\cdot1 + (-1)\cdot0 + 11\cdot1 = -2 + 0 +11 = 9,\\[4pt] (A^{3})_{32} &= (-2)\cdot(-2) + (-1)\cdot2 + 11\cdot(-1) = 4 -2 -11 = -9,\\[4pt] (A^{3})_{33} &= (-2)\cdot2 + (-1)\cdot0 + 11\cdot(-3) = -4 + 0 -33 = -37. \end{aligned}
Então
A^{3}=\begin{pmatrix}-1 & -18 & 18 \\[4pt] 0 & 8 & 0 \\[4pt] 9 & -9 & -37\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular -9A e 10I.
Multiplicação por escalar -9:
-9A=\begin{pmatrix}-9\cdot1 & -9\cdot(-2) & -9\cdot2 \\[4pt] -9\cdot0 & -9\cdot2 & -9\cdot0 \\[4pt] -9\cdot1 & -9\cdot(-1) & -9\cdot(-3)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-9 & 18 & -18 \\[4pt] 0 & -18 & 0 \\[4pt] -9 & 9 & 27\end{pmatrix}.
A matriz identidade I de ordem 3 é
I=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix},
logo
10I=\begin{pmatrix}10 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 10 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 10\end{pmatrix}.]

Passo 6

Somar as matrizes A^{3}+(-9A)+10I componente a componente.
Primeiro A^{3}+(-9A):
\begin{pmatrix}-1 & -18 & 18 \\[4pt] 0 & 8 & 0 \\[4pt] 9 & -9 & -37\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-9 & 18 & -18 \\[4pt] 0 & -18 & 0 \\[4pt] -9 & 9 & 27\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-10 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & -10 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & -10\end{pmatrix}.
Agora somar 10I:
\begin{pmatrix}-10 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & -10 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & -10\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}10 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 10 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 10\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
O resultado é a matriz nula de ordem 3.]

Resposta

A^{3}-9A+10I=O

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