Exercício 95. Calcule \int_{C}(x+3 y) d s, onde C é parametrizada por \alpha:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \alpha(t)= (t-1,3 t+2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha do campo escalar f(x,y)=x+3y ao longo da curva C que é parametrizada por
\alpha:[-1,1]\to\mathbb{R}^2,\qquad \alpha(t)=(t-1,\;3t+2).
Informações relevantes dadas:
  • O intervalo do parâmetro é [-1,1].
  • As coordenadas ao longo da curva são x(t)=t-1 e y(t)=3t+2.
  • A integral a calcular é \displaystyle \int_{C}(x+3y)\,ds.

Passo 2

Regra que vamos usar (explicação didática):
  • Para um campo escalar f(x,y) e uma curva parametrizada por \alpha(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], a integral de linha em relação ao comprimento de arco é
\int_{C} f(x,y)\,ds = \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,\|\alpha'(t)\|\,dt.
O que isso significa, em palavras simples:
  • ds é o elemento de comprimento ao longo da curva; se você anda um pouquinho ao longo da curva, esse pedaço de comprimento vale ds.
  • Em termos do parâmetro t, esse pedaço é \|\alpha'(t)\|\,dt, onde \alpha'(t)=(x'(t),y'(t)) e \|\alpha'(t)\|=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}.
  • Portanto substituímos x e y por x(t) e y(t) e multiplicamos pela velocidade \|\alpha'(t)\|.

Passo 3

Calcular \alpha'(t) e sua norma:
\alpha(t)=(x(t),y(t))=(t-1,\;3t+2)
\alpha'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\;3).
Agora a norma (velocidade) é constante:
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}.
Observação: aqui a velocidade é constante porque a curva é uma reta parametrizada com derivada constante.

Passo 4

Calcular o integrando em termos de t:
f\big(x(t),y(t)\big)=x(t)+3y(t)=(t-1)+3(3t+2).
Fazendo as contas passo a passo:
(t-1)+3(3t+2)=t-1+9t+6=10t+5.

Passo 5

Montar a integral em termos de t usando a fórmula do Passo 2:
\int_{C}(x+3y)\,ds=\int_{-1}^{1}\big(10t+5\big)\,\|\alpha'(t)\|\,dt.
Substituindo \|\alpha'(t)\|=\sqrt{10}, que é constante, obtemos
\int_{-1}^{1}\big(10t+5\big)\sqrt{10}\,dt=\sqrt{10}\int_{-1}^{1}\big(10t+5\big)\,dt.

Passo 6

Calcular a integral simples:
Primeiro a primitiva de 10t+5 é 5t^{2}+5t, pois
\frac{d}{dt}\big(5t^{2}+5t\big)=10t+5.
Avaliar de -1 a 1:
\left[5t^{2}+5t\right]_{-1}^{1}=\big(5\cdot1^{2}+5\cdot1\big)-\big(5\cdot(-1)^{2}+5\cdot(-1)\big).
Calcule cada termo:
5\cdot1^{2}+5\cdot1=5+5=10,
5\cdot(-1)^{2}+5\cdot(-1)=5-5=0.
Portanto a integral interna vale 10-0=10.

Passo 7

Multiplicar pelo fator \sqrt{10} que estava fora:
\sqrt{10}\cdot 10 = 10\sqrt{10}.
Esse é o valor final da integral.

Resposta

10\sqrt{10}

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