Exercício 95. Calcule
, onde
é parametrizada por
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha do campo escalar
ao longo da curva
que é parametrizada por
Informações relevantes dadas:
- O intervalo do parâmetro é
. - As coordenadas ao longo da curva são
e . - A integral a calcular é
.
Passo 2
Regra que vamos usar (explicação didática):
- Para um campo escalar
e uma curva parametrizada por , , a integral de linha em relação ao comprimento de arco é
O que isso significa, em palavras simples:
-
é o elemento de comprimento ao longo da curva; se você anda um pouquinho ao longo da curva, esse pedaço de comprimento vale . - Em termos do parâmetro
, esse pedaço é , onde e . - Portanto substituímos
e por e e multiplicamos pela velocidade .
Passo 3
Calcular
e sua norma:
Agora a norma (velocidade) é constante:
Observação: aqui a velocidade é constante porque a curva é uma reta parametrizada com derivada constante.
Passo 4
Calcular o integrando em termos de
:
Fazendo as contas passo a passo:
Passo 5
Montar a integral em termos de
usando a fórmula do Passo 2:
Substituindo
, que é constante, obtemos
Passo 6
Calcular a integral simples:
Primeiro a primitiva de é
, pois
Primeiro a primitiva de
Avaliar de
a
:
Calcule cada termo:
Portanto a integral interna vale
.
Passo 7
Multiplicar pelo fator
que estava fora:
Esse é o valor final da integral.