Sejam
Mostre que
é enumerável.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as seguintes coisas.
- Informações dadas:
-
é par};\[6pt] g!\left(\dfrac{n+1}{2}\right) & se
é ímpar. \end{cases}]
-
é par};\[6pt] g!\left(\dfrac{n+1}{2}\right) & se
- O que o enunciado pede:
- Mostrar que
é bijetora. - Concluir que
é enumerável.]
- Mostrar que
Passo 2
Lembrando definições e ideias que vou usar (explicando devagar como se estivéssemos estudando juntos).
- Uma função é bijetora quando é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
- Injetora: se
então . Equivalentemente, se então . - Sobrejetora (ou sobre): para todo elemento
do contradomínio existe tal que .
- Injetora: se
- “Enumerável” (ou “contável”) aqui significa que existe uma bijeção entre
e o conjunto; ou seja, mostrar uma bijeção basta. - Observação prática sobre paridade de
: - Se
é par então existe tal que . Nesse caso . - Se
é ímpar então existe tal que . Nesse caso .
- Se
- Estratégia: provar que
é injetora (casos de paridade) e que é sobrejetora (cada elemento de tem um pré-imagem explícito).
Passo 3
Prova de que
é injetora.
Sejam
tais que
. Vou mostrar que
.
-
Primeiro caso: um dos
é par e o outro é ímpar. Suponha, sem perda, que é par e é ímpar. Então Comoe são disjuntos, nenhum elemento de pode ser igual a um elemento de . Portanto não é possível ter . Logo esse caso não ocorre. -
Segundo caso: ambos são pares. Escreva
e com . Então Seentão . Como é injetora (é bijeção), segue . Portanto . -
Terceiro caso: ambos são ímpares. Escreva
e com . Então Seentão . Como é injetora, segue . Portanto .
Como em todos os casos a igualdade
leva a
, concluímos que
é injetora.
Passo 4
Prova de que
é sobrejetora.
Tomemos um elemento arbitrário
. Há duas possibilidades:
-
Se
: como é sobrejetora, existe tal que . Então, tomando (que é par), temos Assimtem pré-imagem . -
Se
: como é sobrejetora, existe tal que . Então, tomando (que é ímpar), temos Assimtem pré-imagem .
Portanto, todo
é imagem de algum
por
, isto é,
é sobrejetora.
Passo 5
Conclusão sobre bijetividade e enumerabilidade.
- Como mostramos que
é injetora (Passo 3) e sobrejetora (Passo 4), segue que é bijeção entre e . - Pelo conceito de enumerabilidade, existir uma bijeção
significa que é enumerável (contável). Como e são infinitos, também é infinito e enumerável (ou seja, enumerável infinito).