Sejam A\) e \(B\) conjuntos disjuntos enumeráveis e infinitos. Sabemos então que existem bijeções \(f: \mathbb{N} \rightarrow A\) e \(g: \mathbb{N} \rightarrow B\). Defina \[h(n)= \begin{cases}f\left(\frac{n}{2}\right) & \text { se } n \text { é par; } \\\ g\left(\frac{n+1}{2}\right) & \text { se } n \text { é ímpar. }\end{cases}
Mostre que h\] é bijetora e conclua que \(A \cup B é enumerável.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as seguintes coisas.
  • Informações dadas:
    • A\) e \(B\) são conjuntos disjuntos, enumeráveis e infinitos. - Existem bijeções \(f: \mathbb{N}\to A\) e \(g: \mathbb{N}\to B\). - A função \(h:\mathbb{N}\to A\cup B\) é definida por \[h(n)= \begin{cases} f\!\left(\dfrac{n}{2}\right) & \text{se \(n é par};\[6pt] g!\left(\dfrac{n+1}{2}\right) & se n é ímpar. \end{cases}]
  • O que o enunciado pede:
    1. Mostrar que h é bijetora.
    2. Concluir que A\cup B é enumerável.]

Passo 2

Lembrando definições e ideias que vou usar (explicando devagar como se estivéssemos estudando juntos).
  • Uma função é bijetora quando é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
    • Injetora: se x_1\neq x_2 então h(x_1)\neq h(x_2). Equivalentemente, se h(x_1)=h(x_2) então x_1=x_2.
    • Sobrejetora (ou sobre): para todo elemento y do contradomínio existe x tal que h(x)=y.
  • “Enumerável” (ou “contável”) aqui significa que existe uma bijeção entre \mathbb{N} e o conjunto; ou seja, mostrar uma bijeção \mathbb{N}\to A\cup B basta.
  • Observação prática sobre paridade de n:
    • Se n é par então existe k\in\mathbb{N} tal que n=2k. Nesse caso \dfrac{n}{2}=k.
    • Se n é ímpar então existe k\in\mathbb{N} tal que n=2k-1. Nesse caso \dfrac{n+1}{2}=k.
  • Estratégia: provar que h é injetora (casos de paridade) e que h é sobrejetora (cada elemento de A\cup B tem um pré-imagem explícito).

Passo 3

Prova de que h é injetora.
Sejam n_1,n_2\in\mathbb{N} tais que h(n_1)=h(n_2). Vou mostrar que n_1=n_2.
  • Primeiro caso: um dos n_i é par e o outro é ímpar. Suponha, sem perda, que n_1 é par e n_2 é ímpar. Então
    h(n_1)=f\!\left(\frac{n_1}{2}\right)\in A \qquad\text{e}\qquad h(n_2)=g\!\left(\frac{n_2+1}{2}\right)\in B.
    Como A e B são disjuntos, nenhum elemento de A pode ser igual a um elemento de B. Portanto não é possível ter h(n_1)=h(n_2). Logo esse caso não ocorre.
  • Segundo caso: ambos são pares. Escreva n_1=2a e n_2=2b com a,b\in\mathbb{N}. Então
    h(n_1)=f(a),\qquad h(n_2)=f(b).
    Se h(n_1)=h(n_2) então f(a)=f(b). Como f é injetora (é bijeção), segue a=b. Portanto n_1=2a=2b=n_2.
  • Terceiro caso: ambos são ímpares. Escreva n_1=2a-1 e n_2=2b-1 com a,b\in\mathbb{N}. Então
    h(n_1)=g(a),\qquad h(n_2)=g(b).
    Se h(n_1)=h(n_2) então g(a)=g(b). Como g é injetora, segue a=b. Portanto n_1=2a-1=2b-1=n_2.
Como em todos os casos a igualdade h(n_1)=h(n_2) leva a n_1=n_2, concluímos que h é injetora.

Passo 4

Prova de que h é sobrejetora.
Tomemos um elemento arbitrário x\in A\cup B. Há duas possibilidades:
  • Se x\in A: como f é sobrejetora, existe m\in\mathbb{N} tal que f(m)=x. Então, tomando n=2m (que é par), temos
    h(n)=h(2m)=f\!\left(\frac{2m}{2}\right)=f(m)=x.
    Assim x tem pré-imagem 2m.
  • Se x\in B: como g é sobrejetora, existe m\in\mathbb{N} tal que g(m)=x. Então, tomando n=2m-1 (que é ímpar), temos
    h(n)=h(2m-1)=g\!\left(\frac{(2m-1)+1}{2}\right)=g(m)=x.
    Assim x tem pré-imagem 2m-1.
Portanto, todo x\in A\cup B é imagem de algum n\in\mathbb{N} por h, isto é, h é sobrejetora.

Passo 5

Conclusão sobre bijetividade e enumerabilidade.
  • Como mostramos que h é injetora (Passo 3) e sobrejetora (Passo 4), segue que h é bijeção entre \mathbb{N} e A\cup B.
  • Pelo conceito de enumerabilidade, existir uma bijeção \mathbb{N}\to A\cup B significa que A\cup B é enumerável (contável). Como A e B são infinitos, A\cup B também é infinito e enumerável (ou seja, enumerável infinito).

Resposta

h é bijetora.
A\cup B é enumerável.

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