- ( 2,0 pontos) Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
a) ( ) Se
é uma transformação linear injetora e
, então
é um isomorfismo.
b) ( )
é um autovalor do operador linear
dado por
.
a) ( ) Se
b) ( )
Passo 1
Vou organizar claramente o que cada item pede e quais dados temos.
a) O enunciado dá uma transformação linear
que é injetora e diz que
. A pergunta: afirmar se a sentença é verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar.
b) O enunciado define o operador linear
por
. A pergunta:
é um autovalor de
? Responder V ou F e justificar.
Passo 2
Vou recordar/ensinar os conceitos que vou usar (passo a passo, sem pressa):
-
Transformação linear:
é linear se para quaisquer e qualquer escalar vale e . -
Injetora (ou injetiva):
é injetora se implica . O conjunto chama-se núcleo (nullspace); ser injetora equivale a , isto é, nullity . -
Isomorfismo:
é um isomorfismo se for linear e bijetora (injetora + sobrejetora). Nesse caso e são “isomorfos” (mesma estrutura linear). -
Teorema posto-chave (Rank–Nullity): para transformação linear
entre espaços vetoriais de dimensão finita vale
onde
e
.
- Autovalor e autovetor:
é autovalor de um operador linear se existe tal que . O conjunto de todos os vetores não nulos que satisfazem isso chama-se autovetores associados a .
Passo 3
Resolver o item (a) passo a passo aplicando o Rank–Nullity.
Dado que
é injetora, temos
Pelo Teorema Rank–Nullity,
logo
Mas
e sempre vale
. Como nos foi dado
, substituindo obtemos
Isto significa
. Como
é subespaço de
com a mesma dimensão de
, segue que
. Portanto
é sobrejetora.
Sendo
injetora e sobrejetora,
é bijetora, logo é um isomorfismo.
Conclusão do item (a): a afirmação é verdadeira.
(Pequeno exemplo intuitivo: se
e
é injetora, as imagens de uma base de
são dois vetores independentes em
— portanto formam base de
e geram todo
.)
Passo 4
Agora o item (b). Primeiro verifico linearidade e o que significa
ser autovalor.
- Linearidade de
: para e escalar ,
Logo
é linear (só uma checagem rápida).
-
ser autovalor significa que existe tal que
Portanto a pergunta se reduz a: existe matriz não nula
tal que
seja igual à sua transposta? Essas matrizes são exatamente as matrizes simétricas.
Passo 5
Exhibir explicitamente um autovetor (matriz simétrica não nula). Por exemplo, tome
Então
Logo
com
. Assim
é de fato um autovalor de
. (Observação extra: o subespaço das matrizes simétricas tem dimensão
, então a multiplicidade geométrica do autovalor
é
. Também é fácil ver que
, daí os únicos autovalores possíveis são
.)
Conclusão do item (b): a afirmação é verdadeira.]
Passo 6
Resumo final curto das justificativas (sem repetir cálculos): para (a) usei rank–nullity para transformar injetividade em sobrejetividade quando as dimensões coincidem; para (b) mostrei que existem matrizes simétricas não nulas que satisfazem
, portanto
é autovalor.
Resposta
a) V
b) V
b) V