1. ( 2,0 pontos) Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
    a) ( ) Se T: V \rightarrow W é uma transformação linear injetora e \operatorname{dim}(V)=\operatorname{dim}(W), então T é um isomorfismo.
    b) ( ) \lambda=1 é um autovalor do operador linear S: M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) dado por S(A)=A^{t}.

Passo 1

Vou organizar claramente o que cada item pede e quais dados temos.
a) O enunciado dá uma transformação linear T: V \to W que é injetora e diz que \dim(V)=\dim(W). A pergunta: afirmar se a sentença é verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar.
b) O enunciado define o operador linear S:M_{2\times2}(\mathbb{R})\to M_{2\times2}(\mathbb{R}) por S(A)=A^{t}. A pergunta: \lambda=1 é um autovalor de S? Responder V ou F e justificar.

Passo 2

Vou recordar/ensinar os conceitos que vou usar (passo a passo, sem pressa):
  • Transformação linear: T:V\to W é linear se para quaisquer u,v\in V e qualquer escalar c vale T(u+v)=T(u)+T(v) e T(cu)=cT(u).
  • Injetora (ou injetiva): T é injetora se T(v)=0 implica v=0. O conjunto \ker(T)=\{v\in V:\;T(v)=0\} chama-se núcleo (nullspace); ser injetora equivale a \ker(T)=\{0\}, isto é, nullity =0.
  • Isomorfismo: T é um isomorfismo se for linear e bijetora (injetora + sobrejetora). Nesse caso V e W são “isomorfos” (mesma estrutura linear).
  • Teorema posto-chave (Rank–Nullity): para transformação linear T:V\to W entre espaços vetoriais de dimensão finita vale
\dim(V)=\operatorname{rank}(T)+\operatorname{nullity}(T),
onde \operatorname{rank}(T)=\dim(\operatorname{Im}T) e \operatorname{nullity}(T)=\dim(\ker T).
  • Autovalor e autovetor: \lambda\in\mathbb{R} é autovalor de um operador linear S se existe 0\ne v tal que S(v)=\lambda v. O conjunto de todos os vetores não nulos que satisfazem isso chama-se autovetores associados a \lambda.

Passo 3

Resolver o item (a) passo a passo aplicando o Rank–Nullity.
Dado que T é injetora, temos
\ker(T)=\{0\}\quad\Rightarrow\quad \operatorname{nullity}(T)=0.
Pelo Teorema Rank–Nullity,
\dim(V)=\operatorname{rank}(T)+\operatorname{nullity}(T)=\operatorname{rank}(T)+0,
logo
\operatorname{rank}(T)=\dim(V).
Mas \operatorname{rank}(T)=\dim(\operatorname{Im}T) e sempre vale \operatorname{rank}(T)\le \dim(W). Como nos foi dado \dim(V)=\dim(W), substituindo obtemos
\operatorname{rank}(T)=\dim(W).
Isto significa \dim(\operatorname{Im}T)=\dim(W). Como \operatorname{Im}T é subespaço de W com a mesma dimensão de W, segue que \operatorname{Im}T=W. Portanto T é sobrejetora.
Sendo T injetora e sobrejetora, T é bijetora, logo é um isomorfismo.
Conclusão do item (a): a afirmação é verdadeira.
(Pequeno exemplo intuitivo: se \dim V=\dim W=2 e T é injetora, as imagens de uma base de V são dois vetores independentes em W — portanto formam base de W e geram todo W.)

Passo 4

Agora o item (b). Primeiro verifico linearidade e o que significa \lambda=1 ser autovalor.
  • Linearidade de S: para A,B\in M_{2\times2}(\mathbb{R}) e escalar c,
S(A+B)=(A+B)^t=A^t+B^t=S(A)+S(B),
S(cA)=(cA)^t=cA^t=cS(A).
Logo S é linear (só uma checagem rápida).
  • \lambda=1 ser autovalor significa que existe 0\ne A\in M_{2\times2}(\mathbb{R}) tal que
S(A)=1\cdot A \quad\text{ou seja}\quad A^t=A.
Portanto a pergunta se reduz a: existe matriz não nula A tal que A seja igual à sua transposta? Essas matrizes são exatamente as matrizes simétricas.

Passo 5

Exhibir explicitamente um autovetor (matriz simétrica não nula). Por exemplo, tome
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[2pt]2 & 3\end{pmatrix}.
Então
A^{t}=\begin{pmatrix}1 & 2\\[2pt]2 & 3\end{pmatrix}=A.
Logo S(A)=A=1\cdot A com A\neq 0. Assim \lambda=1 é de fato um autovalor de S. (Observação extra: o subespaço das matrizes simétricas tem dimensão 3, então a multiplicidade geométrica do autovalor 1 é 3. Também é fácil ver que S^2=\mathrm{Id}, daí os únicos autovalores possíveis são \pm1.)
Conclusão do item (b): a afirmação é verdadeira.]

Passo 6

Resumo final curto das justificativas (sem repetir cálculos): para (a) usei rank–nullity para transformar injetividade em sobrejetividade quando as dimensões coincidem; para (b) mostrei que existem matrizes simétricas não nulas que satisfazem A^t=A, portanto 1 é autovalor.

Resposta

a) V
b) V

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