Exercício 5. Se sabe-se que o determinante de uma matriz A \in M_{3}(\mathbb{R}) é |A|=3. Calcule |2 A|,|-A|.

Passo 1

O enunciado dá claramente as seguintes informações e pede os seguintes cálculos:
  • Informação dada: A é uma matriz em M_{3}(\mathbb{R}) (ou seja, dimensão 3\times3) e o determinante de A é |A|=3.
  • O que é pedido: calcular |2A| e |-A|.

Passo 2

Entender a propriedade chave do determinante que vamos usar: se multiplicamos uma linha (ou coluna) de uma matriz por um escalar k, o determinante da nova matriz fica multiplicado por k. Em palavras: multiplicar uma linha por k escala o determinante por k.
Explicação bem concreta do porquê (sem jargão): o determinante é uma soma de termos em que cada termo é produto de exatamente uma entrada de cada linha. Se em uma linha todas as entradas forem multiplicadas por k, cada termo dessa soma recebe um fator k, então o determinante inteiro recebe um fator k.
Um exemplo simples para fixar a ideia: para uma matriz 2\times2
B=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix},
temos |B|=ad-bc. Se multiplicarmos a primeira linha por k, a nova matriz é \begin{pmatrix}ka & kb \\\ c & d\end{pmatrix} e o determinante vira
k a d - k b c = k(ad-bc)=k|B|.
Viu? Saiu o fator k inteiro.

Passo 3

Agora generalizamos para multiplicar toda a matriz por um escalar c. Multiplicar a matriz inteira por c significa multiplicar cada linha por c. Como são n linhas em uma matriz n\times n, cada uma dá um fator c no determinante; portanto o fator total é c^n. Ou seja, para uma matriz n\times n vale a regra
|cA| = c^{n}\,|A|.
No nosso caso n=3 (matriz 3\times3), então
|cA| = c^{3}\,|A|.

Passo 4

Aplicando a regra ao primeiro pedido |2A|: aqui c=2 e |A|=3. Logo
|2A| = 2^{3}\,|A| = 8\cdot 3 = 24.
Fiz a conta passo a passo: 2^{3}=2\cdot2\cdot2=8, depois 8\cdot3=24.

Passo 5

Agora para |-A|: aqui c=-1. Usando a mesma fórmula com n=3,
|-A| = (-1)^{3}\,|A| = -1\cdot 3 = -3.
Interpretação rápida: multiplicar por -1 troca o sinal de cada linha; como há três linhas (ímpar), o sinal total do determinante muda (ficando negativo). Se a dimensão fosse par, (-1)^n seria +1 e o determinante não mudaria de sinal.

Passo 6

Pequeno reforço/checagem: para ver que a fórmula é consistente, pense no caso 2\times2 do exemplo anterior. Multiplicar por 2 dá fator 2^{2}=4 no determinante — é exatamente o que aconteceria se extrairmos 2 de cada uma das duas linhas. A mesma lógica estende para 3\times3.

Resposta

|2A| = 24
|-A| = -3

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