Exercício 5. Se sabe-se que o determinante de uma matriz
é
. Calcule
.
Passo 1
O enunciado dá claramente as seguintes informações e pede os seguintes cálculos:
- Informação dada:
é uma matriz em (ou seja, dimensão ) e o determinante de é . - O que é pedido: calcular
e .
Passo 2
Entender a propriedade chave do determinante que vamos usar: se multiplicamos uma linha (ou coluna) de uma matriz por um escalar
, o determinante da nova matriz fica multiplicado por
. Em palavras: multiplicar uma linha por
escala o determinante por
.
Explicação bem concreta do porquê (sem jargão): o determinante é uma soma de termos em que cada termo é produto de exatamente uma entrada de cada linha. Se em uma linha todas as entradas forem multiplicadas por
, cada termo dessa soma recebe um fator
, então o determinante inteiro recebe um fator
.
Um exemplo simples para fixar a ideia: para uma matriz
temos
. Se multiplicarmos a primeira linha por
, a nova matriz é
e o determinante vira
Viu? Saiu o fator
inteiro.
Passo 3
Agora generalizamos para multiplicar toda a matriz por um escalar
. Multiplicar a matriz inteira por
significa multiplicar cada linha por
. Como são
linhas em uma matriz
, cada uma dá um fator
no determinante; portanto o fator total é
. Ou seja, para uma matriz
vale a regra
No nosso caso
(matriz
), então
Passo 4
Aplicando a regra ao primeiro pedido
: aqui
e
. Logo
Fiz a conta passo a passo:
, depois
.
Passo 5
Agora para
: aqui
. Usando a mesma fórmula com
,
Interpretação rápida: multiplicar por
troca o sinal de cada linha; como há três linhas (ímpar), o sinal total do determinante muda (ficando negativo). Se a dimensão fosse par,
seria
e o determinante não mudaria de sinal.
Passo 6
Pequeno reforço/checagem: para ver que a fórmula é consistente, pense no caso
do exemplo anterior. Multiplicar por
dá fator
no determinante — é exatamente o que aconteceria se extrairmos
de cada uma das duas linhas. A mesma lógica estende para
.