Exercício 9. Ache as coordenadas de \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} com relação à base \mathcal{B} (do exercício 1) e mostre que não são paralelos. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \mathcal{C}=(\overrightarrow{H L}, \overrightarrow{H N}). \overrightarrow{A F}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Ache as coordenadas de \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} com respeito à base \mathcal{B} (que foi definida no exercício 1).
Mostre que \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} não são paralelos.
Determine as coordenadas de \overrightarrow{A F} com respeito à base \mathcal{C}=(\overrightarrow{H L},\overrightarrow{H N}).
Informações relevantes que o enunciado deveria fornecer (mas que não foram incluídas na sua mensagem):
As coordenadas dos pontos \,A, F, H, L, N em alguma base (por exemplo, na base canônica) OU as coordenadas dos vetores posição correspondentes.
A definição explícita da base \mathcal{B}=(\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2) (ou \mathcal{B}=(\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_3) se o espaço for tridimensional), que deveria ter sido dada no exercício 1.
Sem esses dados numéricos (coordenadas dos pontos ou vetores da base \mathcal{B}) não há valores concretos a calcular. Abaixo eu explico passo a passo o método completo e didático que usaria assim que esses dados forem fornecidos.
Passo 2
Como obter \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} a partir das coordenadas dos pontos.
Se forem dadas as coordenadas dos pontos em alguma base (por exemplo, na base canônica) como \overrightarrow{H}=(h_1,h_2), \overrightarrow{L}=(\ell_1,\ell_2) e \overrightarrow{N}=(n_1,n_2),
então os vetores que queremos são simplesmente as diferenças das coordenadas:
Explicando bem devagar: para formar o vetor que vai de H a L subtrai-se a posição de H da posição de L, componente a componente.
Passo 3
Como expressar um vetor qualquer em coordenadas da base \mathcal{B}=(\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2).
Suponha que a base \mathcal{B} tenha vetores conhecidos \mathbf{b}_1=(b_{11},b_{21}) e \mathbf{b}_2=(b_{12},b_{22}) (ou a versão 3D, análoga). Para achar as coordenadas de \overrightarrow{H L} em relação a \mathcal{B} procuramos escalares x,y tais que
Ou usar a regra de Cramer (fácil para 2\times2): se escrever \mathbf{b}_1=(b_{11},b_{21}), \mathbf{b}_2=(b_{12},b_{22}) e v=(v_1,v_2)=\overrightarrow{H L}, então
Repita o mesmo procedimento para \overrightarrow{H N}.
Observação amigável: isto é só álgebra linear básica — resolver um sistema B\vec{c}=\vec{v} para encontrar coordenadas \vec{c}.]
Passo 4
Como mostrar que \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} não são paralelos.
Depois de obter as coordenadas de ambos os vetores na mesma base (pode ser na base canônica ou na base \mathcal{B}), suponha que em coordenadas (em qualquer base) estes vetores sejam \overrightarrow{H L}=(u_1,u_2) e \overrightarrow{H N}=(v_1,v_2).
Eles são paralelos se, e somente se, existe \lambda tal que (u_1,u_2)=\lambda(v_1,v_2). Um teste prático e rápido em 2D é calcular o determinante formado por essas coordenadas:
Se esse determinante for diferente de zero então os vetores não são múltiplos um do outro — ou seja, não são paralelos. Se for zero, então são paralelos. O motivo: o determinante mede a área do paralelogramo gerado pelos vetores; área zero significa colinearidade.]
Passo 5
Como achar as coordenadas de \overrightarrow{A F} na base \mathcal{C}=(\overrightarrow{H L},\overrightarrow{H N}).
Primeiro calcule \overrightarrow{A F}=\overrightarrow{F}-\overrightarrow{A}=(f_1-a_1,f_2-a_2) usando as coordenadas de A e F.
isto é, resolva para s,t no sistema (usando as coordenadas de \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} expressas em uma base conhecida, por exemplo a canônica):
onde (u_1,u_2)=\overrightarrow{H L} e (v_1,v_2)=\overrightarrow{H N}. Novamente, se a matriz \big(\overrightarrow{H L}\\ \overrightarrow{H N}\big) for invertível (o que equivale a \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} não serem paralelos), então
ou use-se Cramer para calcular s e t explicitamente.
Dica de prova para a prova: se o professor pedir justificação, explique que escrever um vetor numa base significa resolver um sistema linear cujas colunas são os vetores da base — e a solução existe e é única se a base for linearmente independente (aqui: se \det \neq 0).]
Passo 6
Resumo do que falta e do que você pode me enviar para eu calcular numericamente agora.
Para eu calcular numericamente e dar a resposta final precisa você me enviar uma destas informações:
As coordenadas dos pontos A,F,H,L,N na base canônica (por exemplo \overrightarrow{H}=(h_1,h_2), etc.); OU
A definição explícita da base \mathcal{B}=(\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2) dada no exercício 1 (i.e. as coordenadas de \mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2 na base canônica) e as coordenadas dos pontos A,F,H,L,N em alguma base; OU
A própria figura/diagrama se ela contém coordenadas numéricas (nesse caso eu pego os números da figura).
Quando você me passar esses dados eu executo imediatamente os cálculos passo a passo (com as contas desenvolvidas) e mostro: (i) as coordenadas de \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} em \mathcal{B}; (ii) a verificação do determinante para não-paralelismo; (iii) as coordenadas de \overrightarrow{A F} na base \mathcal{C}. Força aí, já tá quase — manda os números que eu resolvo em detalhe!
Resposta
Não é possível determinar numericamente as coordenadas pedidas porque faltam as coordenadas dos pontos A,F,H,L,N e/ou a definição explícita da base \mathcal{B} (informação do exercício 1).