Exercício 9. Ache as coordenadas de \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} com relação à base \mathcal{B} (do exercício 1) e mostre que não são paralelos. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \mathcal{C}=(\overrightarrow{H L}, \overrightarrow{H N}).
\overrightarrow{A F}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Ache as coordenadas de \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} com respeito à base \mathcal{B} (que foi definida no exercício 1).
  • Mostre que \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} não são paralelos.
  • Determine as coordenadas de \overrightarrow{A F} com respeito à base \mathcal{C}=(\overrightarrow{H L},\overrightarrow{H N}).
Informações relevantes que o enunciado deveria fornecer (mas que não foram incluídas na sua mensagem):
  • As coordenadas dos pontos \,A, F, H, L, N em alguma base (por exemplo, na base canônica) OU as coordenadas dos vetores posição correspondentes.
  • A definição explícita da base \mathcal{B}=(\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2) (ou \mathcal{B}=(\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_3) se o espaço for tridimensional), que deveria ter sido dada no exercício 1.
Sem esses dados numéricos (coordenadas dos pontos ou vetores da base \mathcal{B}) não há valores concretos a calcular. Abaixo eu explico passo a passo o método completo e didático que usaria assim que esses dados forem fornecidos.

Passo 2

Como obter \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} a partir das coordenadas dos pontos.
Se forem dadas as coordenadas dos pontos em alguma base (por exemplo, na base canônica) como
\overrightarrow{H}=(h_1,h_2), \overrightarrow{L}=(\ell_1,\ell_2) e \overrightarrow{N}=(n_1,n_2),
então os vetores que queremos são simplesmente as diferenças das coordenadas:
\overrightarrow{H L}=\overrightarrow{L}-\overrightarrow{H}=(\ell_1-h_1,\;\ell_2-h_2),
\overrightarrow{H N}=\overrightarrow{N}-\overrightarrow{H}=(n_1-h_1,\;n_2-h_2).
Explicando bem devagar: para formar o vetor que vai de H a L subtrai-se a posição de H da posição de L, componente a componente.

Passo 3

Como expressar um vetor qualquer em coordenadas da base \mathcal{B}=(\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2).
Suponha que a base \mathcal{B} tenha vetores conhecidos
\mathbf{b}_1=(b_{11},b_{21}) e \mathbf{b}_2=(b_{12},b_{22}) (ou a versão 3D, análoga). Para achar as coordenadas de \overrightarrow{H L} em relação a \mathcal{B} procuramos escalares x,y tais que
\overrightarrow{H L}=x\,\mathbf{b}_1+y\,\mathbf{b}_2.
Escrevendo em forma matricial (colunas):
\begin{pmatrix}\,b_{11} & b_{12}\\[4pt] b_{21} & b_{22}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\ell_1-h_1\\[4pt]\ell_2-h_2\end{pmatrix}.
Para resolver esse sistema existem duas maneiras práticas:
  • Se a matriz \big(\mathbf{b}_1\\ \mathbf{b}_2\big) for invertível, multiplicar pela inversa:
\begin{pmatrix}x\\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\mathbf{b}_1 & \mathbf{b}_2\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}\ell_1-h_1\\[4pt]\ell_2-h_2\end{pmatrix}.
  • Ou usar a regra de Cramer (fácil para 2\times2): se escrever \mathbf{b}_1=(b_{11},b_{21}), \mathbf{b}_2=(b_{12},b_{22}) e v=(v_1,v_2)=\overrightarrow{H L}, então
x=\frac{\det\begin{pmatrix}v_1 & b_{12}\\[4pt] v_2 & b_{22}\end{pmatrix}}{\det\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12}\\[4pt] b_{21} & b_{22}\end{pmatrix}}, \qquad y=\frac{\det\begin{pmatrix}b_{11} & v_1\\[4pt] b_{21} & v_2\end{pmatrix}}{\det\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12}\\[4pt] b_{21} & b_{22}\end{pmatrix}}.
Repita o mesmo procedimento para \overrightarrow{H N}.
Observação amigável: isto é só álgebra linear básica — resolver um sistema B\vec{c}=\vec{v} para encontrar coordenadas \vec{c}.]

Passo 4

Como mostrar que \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} não são paralelos.
Depois de obter as coordenadas de ambos os vetores na mesma base (pode ser na base canônica ou na base \mathcal{B}), suponha que em coordenadas (em qualquer base) estes vetores sejam
\overrightarrow{H L}=(u_1,u_2) e \overrightarrow{H N}=(v_1,v_2).
Eles são paralelos se, e somente se, existe \lambda tal que (u_1,u_2)=\lambda(v_1,v_2). Um teste prático e rápido em 2D é calcular o determinante formado por essas coordenadas:
\det\begin{pmatrix}u_1 & v_1\\[4pt] u_2 & v_2\end{pmatrix}=u_1 v_2 - u_2 v_1.
Se esse determinante for diferente de zero então os vetores não são múltiplos um do outro — ou seja, não são paralelos. Se for zero, então são paralelos. O motivo: o determinante mede a área do paralelogramo gerado pelos vetores; área zero significa colinearidade.]

Passo 5

Como achar as coordenadas de \overrightarrow{A F} na base \mathcal{C}=(\overrightarrow{H L},\overrightarrow{H N}).
Primeiro calcule \overrightarrow{A F}=\overrightarrow{F}-\overrightarrow{A}=(f_1-a_1,f_2-a_2) usando as coordenadas de A e F.
Depois escreva
\overrightarrow{A F}=s\,\overrightarrow{H L}+t\,\overrightarrow{H N},
isto é, resolva para s,t no sistema (usando as coordenadas de \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} expressas em uma base conhecida, por exemplo a canônica):
\begin{pmatrix}\,u_1 & v_1\\[4pt] u_2 & v_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}s\\[4pt] t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}f_1-a_1\\[4pt] f_2-a_2\end{pmatrix},
onde (u_1,u_2)=\overrightarrow{H L} e (v_1,v_2)=\overrightarrow{H N}. Novamente, se a matriz \big(\overrightarrow{H L}\\ \overrightarrow{H N}\big) for invertível (o que equivale a \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} não serem paralelos), então
\begin{pmatrix}s\\[4pt] t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\overrightarrow{H L} & \overrightarrow{H N}\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}\overrightarrow{A F}\end{pmatrix},
ou use-se Cramer para calcular s e t explicitamente.
Dica de prova para a prova: se o professor pedir justificação, explique que escrever um vetor numa base significa resolver um sistema linear cujas colunas são os vetores da base — e a solução existe e é única se a base for linearmente independente (aqui: se \det \neq 0).]

Passo 6

Resumo do que falta e do que você pode me enviar para eu calcular numericamente agora.
Para eu calcular numericamente e dar a resposta final precisa você me enviar uma destas informações:
  • As coordenadas dos pontos A,F,H,L,N na base canônica (por exemplo \overrightarrow{H}=(h_1,h_2), etc.); OU
  • A definição explícita da base \mathcal{B}=(\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2) dada no exercício 1 (i.e. as coordenadas de \mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2 na base canônica) e as coordenadas dos pontos A,F,H,L,N em alguma base; OU
  • A própria figura/diagrama se ela contém coordenadas numéricas (nesse caso eu pego os números da figura).
Quando você me passar esses dados eu executo imediatamente os cálculos passo a passo (com as contas desenvolvidas) e mostro: (i) as coordenadas de \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} em \mathcal{B}; (ii) a verificação do determinante para não-paralelismo; (iii) as coordenadas de \overrightarrow{A F} na base \mathcal{C}. Força aí, já tá quase — manda os números que eu resolvo em detalhe!

Resposta

Não é possível determinar numericamente as coordenadas pedidas porque faltam as coordenadas dos pontos A,F,H,L,N e/ou a definição explícita da base \mathcal{B} (informação do exercício 1).

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