Exercício 9. Ache as coordenadas de \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} com relação à base \mathcal{B} (do exercício 1) e mostre que não são paralelos. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \mathcal{C}=(\overrightarrow{H L}, \overrightarrow{H N}).
\overrightarrow{A K}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Achar as coordenadas de \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} com respeito à base \mathcal{B} (que foi definida no exercício 1).
  • Mostrar que \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} não são paralelos.
  • Em seguida, determinar as coordenadas de \overrightarrow{A K} com respeito à base \mathcal{C}=(\overrightarrow{H L},\overrightarrow{H N}).
Informações relevantes que o enunciado (na forma enviada) NÃO forneceu e que são necessárias para calcular resultados numéricos:
  • As coordenadas (no sistema cartesiano padrão) dos pontos H,L,N,A,K.
  • A definição explícita da base \mathcal{B} (os vetores da base \mathcal{B} ou suas coordenadas no sistema padrão), que foi dada no exercício 1 e não foi enviada aqui.
Sem essas informações numéricas não é possível calcular coordenadas numéricas de \overrightarrow{H L},\overrightarrow{H N} nem de \overrightarrow{A K}. Abaixo eu explico passo a passo o método completo e didático que deve ser usado na prova assim que esses dados estiverem disponíveis — mostro fórmulas, como resolver os sistemas e como testar paralelismo. Assim, quando tiver os números, basta seguir estes passos.

Passo 2

Como obter \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} em coordenadas (no sistema cartesiano padrão) e o que fazer antes de passar para a base \mathcal{B}.
  • Se as coordenadas no sistema padrão forem dadas por H=(H_1,H_2), L=(L_1,L_2) e N=(N_1,N_2), então os vetores posição entre pontos são obtidos subtraindo coordenadas ponto a ponto:
\overrightarrow{H L} = L - H = (L_1-H_1,\,L_2-H_2),
\overrightarrow{H N} = N - H = (N_1-H_1,\,N_2-H_2).
Explicando devagar: para formar o vetor que vai de H a L somo ao componente x do H a diferença do x-de L e H; o mesmo para y. É como subir a escada — pegamos a diferença de alturas em cada direção.

Passo 3

Como representar um vetor qualquer em coordenadas da base \mathcal{B}.
  • Suponha que a base \mathcal{B} seja \mathcal{B}=(\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2) com
\mathbf{b}_1=(b_{11},b_{21}),\qquad \mathbf{b}_2=(b_{12},b_{22}),
escritas no sistema cartesiano padrão. Esses dados devem vir do exercício 1.
  • Para escrever \overrightarrow{H L} em coordenadas da base \mathcal{B} precisamos achar escalares x,y tais que
\overrightarrow{H L} = x\,\mathbf{b}_1 + y\,\mathbf{b}_2.
Isto é um sistema linear de 2 equações e 2 incógnitas. Em forma matricial:
\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\[4pt] b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\[4pt] y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1 \\[4pt] v_2 \end{pmatrix},
onde \overrightarrow{H L}=(v_1,v_2) (obtido no passo anterior).
  • Para resolver este sistema de forma prática sem máquina, use a regra de Cramer (fácil de aplicar em prova):
    defina o determinante da matriz da base
D = \det\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\\ b_{21} & b_{22}\end{pmatrix} = b_{11}b_{22}-b_{12}b_{21}.
Se D\neq 0 (isto é, \mathcal{B} é realmente uma base), então
x = \frac{\det\begin{pmatrix} v_1 & b_{12} \\\ v_2 & b_{22}\end{pmatrix}}{D} = \frac{v_1 b_{22} - v_2 b_{12}}{D},
y = \frac{\det\begin{pmatrix} b_{11} & v_1 \\\ b_{21} & v_2\end{pmatrix}}{D} = \frac{b_{11} v_2 - b_{21} v_1}{D}.
Essas são as coordenadas de \overrightarrow{H L} na base \mathcal{B}. Repete-se o mesmo processo para \overrightarrow{H N}.
Comentário amistoso: essa é a receita universal — tirar as diferenças para formar os vetores, montar a matriz da base e aplicar Cramer. Guarda isso na cabeça: “diferença -> montar matriz da base -> aplicar Cramer”.]

Passo 4

Como mostrar que \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} não são paralelos (explicação e teste prático).
  • Dois vetores em \mathbb{R}^2 são paralelos se, e somente se, um é múltiplo escalar do outro. Em termos de coordenadas, se \overrightarrow{H L}=(v_1,v_2) e \overrightarrow{H N}=(w_1,w_2), então são paralelos se existir \lambda tal que (v_1,v_2)=\lambda(w_1,w_2).
  • Um teste rápido sem dividir por componentes (evita problemas quando componentes são zero) é calcular o determinante da matriz que tem esses vetores como colunas:
\Delta=\det\begin{pmatrix} v_1 & w_1 \\\ v_2 & w_2\end{pmatrix} = v_1 w_2 - v_2 w_1.
Se \Delta=0 então os vetores são colineares (paralelos). Se \Delta\neq 0 então não são paralelos (são linearmente independentes). Use este teste quando tiver os componentes v_i,w_i.
  • Observação sobre coordenadas em \mathcal{B}: se já tiver as coordenadas dos dois vetores em relação à mesma base \mathcal{B}, por exemplo \overrightarrow{H L}\leftrightarrow (x_1,x_2)_{\mathcal{B}} e \overrightarrow{H N}\leftrightarrow (y_1,y_2)_{\mathcal{B}}, então formar o determinante
\det\begin{pmatrix} x_1 & y_1 \\\ x_2 & y_2 \end{pmatrix}
dá o mesmo teste: zero significa paralelos, diferente de zero significa não paralelos. (Isto porque mudança de base por matriz invertível preserva o zero/não-zero do determinante até sinal e fator não nulo.)

Passo 5

Como encontrar as coordenadas de \overrightarrow{A K} em relação à base \mathcal{C}=(\overrightarrow{H L},\overrightarrow{H N}).
  • Primeiro calcule \overrightarrow{A K} no sistema padrão: se A=(A_1,A_2) e K=(K_1,K_2),
\overrightarrow{A K}=K-A=(K_1-A_1,\,K_2-A_2).
  • A base \mathcal{C} tem como vetores geradores os próprios \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} (estas são vetores no sistema padrão). Denote-os por \mathbf{c}_1=\overrightarrow{H L}=(v_1,v_2) e \mathbf{c}_2=\overrightarrow{H N}=(w_1,w_2).
  • Queremos escalares \alpha,\beta tais que
\overrightarrow{A K} = \alpha\,\mathbf{c}_1 + \beta\,\mathbf{c}_2.
Novamente isso é um sistema linear 2\times2:
\begin{pmatrix} v_1 & w_1 \\\ v_2 & w_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \\\ \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} K_1-A_1 \\[4pt] K_2-A_2 \end{pmatrix}.
  • Se \det\begin{pmatrix} v_1 & w_1 \\\ v_2 & w_2 \end{pmatrix}\neq 0 (isto é, \mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2 são linearmente independentes — o que equivale a não serem paralelos, ver passo anterior), então pela regra de Cramer:
\alpha = \frac{\det\begin{pmatrix} K_1-A_1 & w_1 \\[4pt] K_2-A_2 & w_2 \end{pmatrix}} {\det\begin{pmatrix} v_1 & w_1 \\[4pt] v_2 & w_2 \end{pmatrix}}, \qquad \beta = \frac{\det\begin{pmatrix} v_1 & K_1-A_1 \\[4pt] v_2 & K_2-A_2 \end{pmatrix}} {\det\begin{pmatrix} v_1 & w_1 \\[4pt] v_2 & w_2 \end{pmatrix}}.
  • Interpretação prática: calcular \alpha,\beta é resolver um sistema 2×2 — o denominador é o determinante da matriz formada por \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N}; se esse determinante for zero não existe base \mathcal{C} (eles seriam colineares) e não é possível representar unicamente \overrightarrow{A K} nessa “base”.]

Passo 6

Exemplo numérico ilustrativo (apenas para treinar o procedimento — não confundir com os dados do exercício real).
  • Suponha que, só para ver o algoritmo funcionando, H=(1,2), L=(4,5), N=(2,6), A=(0,0), K=(3,1) e a base \mathcal{B} do exercício 1 seja \mathcal{B}=(\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2) com \mathbf{b}_1=(1,0), \mathbf{b}_2=(0,1) (base canônica). Isso é só um exemplo de treino.
  • Então \overrightarrow{H L}=(4-1,\,5-2)=(3,3) e \overrightarrow{H N}=(2-1,\,6-2)=(1,4).
  • Coordenadas de \overrightarrow{H L} na base canônica são (3,3) (e, portanto, na \mathcal{B} canônica também). Mesmo se \mathcal{B} fosse outra base, seguiríamos o passo 3 para obter as coordenadas.
  • Determinante para testar paralelismo:
\Delta=\det\begin{pmatrix} 3 & 1 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix}=3\cdot4-3\cdot1=12-3=9\neq0,
logo \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} não são paralelos (no exemplo).
  • Para \overrightarrow{A K}=K-A=(3,1) escrever em \mathcal{C}=(\,(3,3),(1,4)\,) resolvemos
\begin{pmatrix} 3 & 1 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha\\beta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\\ 1\end{pmatrix}.
Usando Cramer, denom =9 (como acima),
\alpha=\frac{\det\begin{pmatrix}3 & 1\\\ 1 & 4\end{pmatrix}}{9}=\frac{3\cdot4-1\cdot1}{9}=\frac{12-1}{9}=\frac{11}{9},
\beta=\frac{\det\begin{pmatrix}3 & 3\\\ 3 & 1\end{pmatrix}}{9}=\frac{3\cdot1-3\cdot3}{9}=\frac{3-9}{9}=-\frac{6}{9}=-\frac{2}{3}.
Assim, no exemplo ilustrativo, \overrightarrow{A K}=(\tfrac{11}{9},-\tfrac{2}{3})_{\mathcal{C}}.
Observação final amigável: no exame faça exatamente esses passos com os números do enunciado real — calcular diferenças, montar matrizes, usar Cramer. Se ficar na dúvida, testa o paralelismo pelo determinante: se for zero a base \mathcal{C} não serve.

Resposta

Não é possível dar as coordenadas numéricas pedidas porque não foram fornecidas as coordenadas dos pontos H,L,N,A,K nem os vetores da base \mathcal{B} (exercício 1).

Exercícios relacionados