Exercício 5. Sejam vec{u}=(\sqrt{3}, 1) e vec{v}=(1, k). Determinar o valor de k para que:
vec{u} e vec{v} sejam ortogonais

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(\sqrt{3},1) e \vec{v}=(1,k).
A pergunta é: determinar o valor de k para que \vec{u} e \vec{v} sejam ortogonais.

Passo 2

Lembrete importante (fórmula que vamos usar). Dois vetores em \mathbb{R}^2, \vec{u}=(u_1,u_2) e \vec{v}=(v_1,v_2), têm produto escalar (ou dot product) dado por:
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1 v_1 + u_2 v_2.
Aqui u_1,u_2 são as componentes do vetor \vec{u} (primeira e segunda coordenadas) e v_1,v_2 são as componentes do vetor \vec{v}.

Passo 3

Definição de ortogonalidade que vamos usar: dois vetores são ortogonais (perpendiculares) se, e somente se, o produto escalar entre eles for zero. Ou seja,
\vec{u}\\ \text{é ortogonal a}\\ \vec{v}\quad\Longleftrightarrow\quad \vec{u}\cdot\vec{v}=0.é

Passo 4

Aplicando isso aos vetores dados: para \vec{u}=(\sqrt{3},1) temos u_1=\sqrt{3} e u_2=1. Para \vec{v}=(1,k) temos v_1=1 e v_2=k. Então
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1 v_1 + u_2 v_2=\sqrt{3}\cdot 1 + 1\cdot k.

Passo 5

Impondo a condição de ortogonalidade \vec{u}\cdot\vec{v}=0, obtemos a equação
\sqrt{3}\cdot 1 + 1\cdot k = 0.

Passo 6

Resolver a equação para k. Primeiro simplificar o produto:
\sqrt{3}+k=0.
Subtrair \sqrt{3} de ambos os lados:
k=-\sqrt{3}.

Passo 7

Checagem rápida (intuição): com k=-\sqrt{3} o produto escalar fica \sqrt{3}\cdot1 + 1\cdot(-\sqrt{3})=0, logo os vetores são realmente ortogonais.

Resposta

k=-\sqrt{3}

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