Exercício 5. Sejam
e
. Determinar o valor de
para que:
e
sejam ortogonais
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
.
A pergunta é: determinar o valor de para que
e
sejam ortogonais.
A pergunta é: determinar o valor de
Passo 2
Lembrete importante (fórmula que vamos usar). Dois vetores em
,
e
, têm produto escalar (ou dot product) dado por:
Aqui
são as componentes do vetor
(primeira e segunda coordenadas) e
são as componentes do vetor
.
Passo 3
Definição de ortogonalidade que vamos usar: dois vetores são ortogonais (perpendiculares) se, e somente se, o produto escalar entre eles for zero. Ou seja,
Passo 4
Aplicando isso aos vetores dados: para
temos
e
. Para
temos
e
. Então
Passo 5
Impondo a condição de ortogonalidade
, obtemos a equação
Passo 6
Resolver a equação para
. Primeiro simplificar o produto:
Subtrair
de ambos os lados:
Passo 7
Checagem rápida (intuição): com
o produto escalar fica
, logo os vetores são realmente ortogonais.