Exercício 8: Ache a inversa de cada uma das seguintes matrizes:
\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 5 \\\\ 0 & 3 & 0 \\\\ 1 & 0 & 3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 5\\\\ 0 & 3 & 0\\\\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
Estamos em “matrizes inversas” e usaremos a ideia de que a segunda linha e segunda coluna formam uma parte diagonal que “separa” a matriz em um bloco 2\times2 nas coordenadas 1 e 3, mais a coordenada 2 isolada.

Passo 2

Observamos que A tem o elemento (2,2)=3 e zeros nas demais posições da segunda linha e da segunda coluna. Logo, em A^{-1} teremos
(A^{-1})_{2,2}=\frac{1}{3} \quad\text{e}\quad (A^{-1})_{i,2}=(A^{-1})_{2,j}=0 \quad\text{para }i\neq2\text{ ou }j\neq2.
Resta inverter o bloco
M=\begin{pmatrix} 2 & 5\\\\ 1 & 3 \end{pmatrix}
que atua sobre as coordenadas 1 e 3.

Passo 3

Calculamos o determinante de M:
\det(M)=2\cdot3-5\cdot1=6-5=1\neq0,
logo M é invertível e
M^{-1}=\frac{1}{\det(M)} \begin{pmatrix} 3 & -5\\\\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -5\\\\ -1 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora montamos A^{-1} usando M^{-1} nas linhas e colunas 1,3 e colocando \tfrac13 na posição (2,2):
A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -5\\\\ 0 & \tfrac13 & 0\\\\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -5\\\\ 0 & \tfrac13 & 0\\\\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}.

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