Exercício 8: Ache a inversa de cada uma das seguintes matrizes:
\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz triangular superior
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
Para isso, vamos usar a ideia de resolver AX=I, sabendo que A é invertível (todas as entradas da diagonal principal são não nulas) e que sua inversa X é também triangular superior.

Passo 2

Seja
X = \begin{pmatrix} y_{11} & y_{12} & y_{13} \\\ y_{21} & y_{22} & y_{23} \\\ y_{31} & y_{32} & y_{33} \end{pmatrix}
e imponha AX=I_3. Comparando linhas e colunas, para cada coluna j=1,2,3 obtemos o sistema triangular
y_{3j} = \delta_{3j}
y_{2j} + y_{3j} = \delta_{2j}
y_{1j} + y_{2j} + y_{3j} = \delta_{1j}
onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker.

Passo 3

Resolvendo coluna a coluna:
Para j=1: \delta_{31}=0, \delta_{21}=0, \delta_{11}=1
y_{31}=0,\quad y_{21}=0,\quad y_{11}=1.
Para j=2: \delta_{32}=0, \delta_{22}=1, \delta_{12}=0
y_{32}=0,\quad y_{22}=1,\quad y_{12}=-1.
Para j=3: \delta_{33}=1, \delta_{23}=0, \delta_{13}=0
y_{33}=1,\quad y_{23}=-1,\quad y_{13}=0.
Logo,
X = A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\\\ 0 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\\\ 0 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

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