Exercício 8: Ache a inversa de cada uma das seguintes matrizes: \left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) Passo 1O enunciado pede a inversa da matriz triangular superior A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} Para isso, vamos usar a ideia de resolver AX=I, sabendo que A é invertível (todas as entradas da diagonal principal são não nulas) e que sua inversa X é também triangular superior. Passo 2Seja X = \begin{pmatrix} y_{11} & y_{12} & y_{13} \\\ y_{21} & y_{22} & y_{23} \\\ y_{31} & y_{32} & y_{33} \end{pmatrix} e imponha AX=I_3. Comparando linhas e colunas, para cada coluna j=1,2,3 obtemos o sistema triangular y_{3j} = \delta_{3j} y_{2j} + y_{3j} = \delta_{2j} y_{1j} + y_{2j} + y_{3j} = \delta_{1j} onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker. Passo 3Resolvendo coluna a coluna: Para j=1: \delta_{31}=0, \delta_{21}=0, \delta_{11}=1 dá y_{31}=0,\quad y_{21}=0,\quad y_{11}=1. Para j=2: \delta_{32}=0, \delta_{22}=1, \delta_{12}=0 dá y_{32}=0,\quad y_{22}=1,\quad y_{12}=-1. Para j=3: \delta_{33}=1, \delta_{23}=0, \delta_{13}=0 dá y_{33}=1,\quad y_{23}=-1,\quad y_{13}=0. Logo, X = A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\\\ 0 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. Resposta A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\\\ 0 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosExercício 8: Ache a inversa de cada uma das seguintes matrizes: \left(\begin{array}{ll}3 & 0 \\\\ 9 & 3\end{array}\right) Exercício 8: Ache a inversa de cada uma das seguintes matrizes: \left(\begin{array}{ll}2 & 6 \\\\ 3 & 8\end{array}\right) Exercício 8: Ache a inversa de cada uma das seguintes matrizes: \left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) Exercício 8: Ache a inversa de cada uma das seguintes matrizes: \left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 5 \\\\ 0 & 3 & 0 \\\\ 1 & 0 & 3\end{array}\right)