Exercício 8. Ache a solução geral do sistema de equações dado:
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear de primeira ordem
e pede a solução geral. Este é um caso de sistema homogêneo
, onde
Para resolver, vamos calcular os autovalores de
, em seguida os autovetores complexos, e enfim obter a forma real da solução usando a parte real e imaginária das soluções complexas.]
Passo 2
Formamos o polinômio característico de
Passo 3
Resolvendo
, o discriminante é
logo os autovalores são complexos conjugados
Passo 4
Escolhemos
e resolvemos
.
Isto dá o sistema
Isto dá o sistema
Tomando
, um autovetor é
Passo 5
Uma solução complexa do sistema é
Escrevendo
e separando parte real e imaginária, obtemos dois vetores solução reais linearly independentes:
Passo 6
A solução geral real é combinação linear dessas partes vezes o fator
. Logo
onde
são constantes reais determinadas pelas condições iniciais.]
Resposta
com
.]