Exercício 8. Ache a solução geral do sistema de equações dado:
X^{\prime}=\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -3 & -2\end{array}\right] X
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema linear de EDOs de primeira ordem
X' = A\,X,
onde
A = \begin{pmatrix}1 & 1\\[6pt]-3 & -2\end{pmatrix},
e X(t)=(x(t),y(t))^T.
O conteúdo é sistemas lineares com coeficientes constantes. A ideia é encontrar os autovalores de A (que poderão ser complexos), obter a equação para x(t) como EDO de segunda ordem e depois recuperar y(t).]
Assim, os autovalores são as raízes de \lambda^2+\lambda+1=0, ou seja
\lambda = \frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}.
]
Passo 3
Como os autovalores são complexos conjugados, teremos solução real de oscilações amortecidas. Para construir essa solução, note que da primeira equação x' = x+y segue