Exercício 8. Ache a solução geral do sistema de equações dado:
\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{\prime}(t)=x_{1}(t)-x_{2}(t) \\\ x_{2}^{\prime}(t)=5 x_{1}(t)+3 x_{2}(t)\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear de primeira ordem
\begin{cases} x_{1}'(t)=x_{1}(t)-x_{2}(t),\\\ x_{2}'(t)=5\,x_{1}(t)+3\,x_{2}(t), \end{cases}
e pede a solução geral. Este é um caso de sistema homogêneo \mathbf{x}'(t)=A\,\mathbf{x}(t), onde
A = \begin{pmatrix}1 & -1\\[6pt]5 & 3\end{pmatrix}.
Para resolver, vamos calcular os autovalores de A, em seguida os autovetores complexos, e enfim obter a forma real da solução usando a parte real e imaginária das soluções complexas.]

Passo 2

Formamos o polinômio característico de A
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}1-\lambda & -1\\[3pt]5 & 3-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)(3-\lambda)-(-1)\cdot5 =\lambda^{2}-4\lambda+8.]

Passo 3

Resolvendo \lambda^{2}-4\lambda+8=0, o discriminante é
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot1\cdot8 =16-32=-16,
logo os autovalores são complexos conjugados
\lambda_{1,2}=2\pm2\,i.

Passo 4

Escolhemos \lambda=2+2i e resolvemos (A-\lambda I)\,v=0.
Isto dá o sistema
\bigl(1-(2+2i)\bigr)v_{1}-v_{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad (-1-2i)v_{1}-v_{2}=0
\Longrightarrow v_{2}=-(1+2i)\,v_{1}.
Tomando v_{1}=1, um autovetor é
v = \begin{pmatrix}1\\[3pt]-1-2i\end{pmatrix}.]

Passo 5

Uma solução complexa do sistema é
\mathbf{z}(t)=v\,e^{(2+2i)t} =e^{2t}\begin{pmatrix}1\\[3pt]-1-2i\end{pmatrix}e^{2i t}.
Escrevendo e^{2it}=\cos2t+i\sin2t e separando parte real e imaginária, obtemos dois vetores solução reais linearly independentes:
\Re\bigl(v\,e^{2it}\bigr) =\begin{pmatrix}\cos2t\\[3pt]-\cos2t+2\sin2t\end{pmatrix}, \quad \Im\bigl(v\,e^{2it}\bigr) =\begin{pmatrix}\sin2t\\[3pt]-2\cos2t-\sin2t\end{pmatrix}.]

Passo 6

A solução geral real é combinação linear dessas partes vezes o fator e^{2t}. Logo
\mathbf{x}(t) =e^{2t}\Bigl[C_{1}\begin{pmatrix}\cos2t\\[3pt]-\cos2t+2\sin2t\end{pmatrix} +C_{2}\begin{pmatrix}\sin2t\\[3pt]-2\cos2t-\sin2t\end{pmatrix}\Bigr],
onde C_{1},C_{2} são constantes reais determinadas pelas condições iniciais.]

Resposta

\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\[3pt]x_{2}(t)\end{pmatrix} =e^{2t}\Bigl[ C_{1}\begin{pmatrix}\cos2t\\[3pt]-\cos2t+2\sin2t\end{pmatrix} + C_{2}\begin{pmatrix}\sin2t\\[3pt]-2\cos2t-\sin2t\end{pmatrix} \Bigr],
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.]

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