Prove as seguintes desigualdades:
, para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
,
Vamos usar ferramentas de cálculo: definir uma função adequada, estudar suas derivadas e explorar a convexidade para encontrar um mínimo global.
Passo 2
Definimos a função
Reescrever a desigualdade
como
nos permite usar cálculo para analisar o sinal de
.
Passo 3
Calculamos as derivadas de
:
Como
para todo
, temos
, ou seja,
é estritamente convexa em
.
Passo 4
Num gráfico de função convexa, qualquer ponto crítico é mínimo global. Resolvemos
Portanto
é o único ponto crítico e, por convexidade, é o mínimo global de
. O valor nesse ponto é
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Passo 5
Como
para todo
, concluímos que
Resposta
A desigualdade
vale para todo
.