Prove as seguintes desigualdades:
e^x>x, para todo x in R.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo xinR,
e^x > x
Vamos usar ferramentas de cálculo: definir uma função adequada, estudar suas derivadas e explorar a convexidade para encontrar um mínimo global.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = e^x - x
Reescrever a desigualdade e^x > x como f(x)>0 nos permite usar cálculo para analisar o sinal de f.

Passo 3

Calculamos as derivadas de f:
f'(x) = ddx(e^x - x) = e^x - 1,
f''(x) = ddx(e^x - 1) = e^x
Como e^x>0 para todo x, temos f''(x)>0, ou seja, f é estritamente convexa em R.

Passo 4

Num gráfico de função convexa, qualquer ponto crítico é mínimo global. Resolvemos
f'(x)=0 implies e^x - 1 = 0 implies x=0
Portanto x=0 é o único ponto crítico e, por convexidade, é o mínimo global de f. O valor nesse ponto é
f(0) = e^0 - 0 = 1
Logo
f(x)>= f(0)=1>0forall xinR

Passo 5

Como f(x)=e^x - x>0 para todo x, concluímos que
e^x > xforall xinR

Resposta

A desigualdade e^x > x vale para todo xinR.

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