Exercício 6:

Admitindo que um plano com densidade de carga uniforme seja infinito e esteja localizado em xy, calcule.
a) O campo elétrico em z>0 e z<0. Considerar duas superfícies gaussianas diferentes.
b) Se o plano for um dielétrico (isolante) de espessura d. É possível utilizar Gauss para calcular o campo em z<-d / 2,-d / 2<z<d / 2 e z>d / 2 ? Se sim, qual seria?
c) Se o plano for um condutor, qual é o campo em z<-d / 2,-d / 2<z<d / 2 e z>d / 2 ?

Passo 1

O enunciado fala de um plano infinito com densidade superficial de carga uniforme \sigma. Primeiro vamos usar a Lei de Gauss para achar o campo em z>0 e z<0. Depois vemos o caso de um slab dielétrico de espessura d com carga volumétrica uniforme \rho e, por fim, um slab condutor de mesma espessura. Em todos os casos exploramos simetria e superfícies gaussianas cilíndricas (pílulas).

Passo 2

Para o plano infinito com densidade superficial \sigma, por simetria o campo só depende de z e é perpendicular ao plano. Escolhemos uma pílula cilíndrica com faces de área A acima e abaixo do plano. Pela Lei de Gauss,
\oint \vec E\cdot d\vec A=\frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_0}.
Apenas as duas bases contribuem, totalizando fluxo 2E\,A, e a carga interna é Q_{\rm int}=\sigma\,A. Logo,
2E\,A=\frac{\sigma\,A}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
O sentido é para longe do plano, portanto
\vec E(z>0)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat z, \qquad \vec E(z<0)=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat z.

Passo 3

Para um slab isolante infinito de espessura d e carga volumétrica uniforme \rho=\sigma/d, separamos em três regiões:
Região interna -\tfrac d2<z<\tfrac d2. Escolhemos uma pílula que vai do plano médio até z. A carga interna vale
Q_{\rm int}=\rho\,A\,z.
O fluxo pela face superior é E(z)\,A. Pela Lei de Gauss,
E(z)\,A=\frac{\rho\,A\,z}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E(z)=\frac{\rho\,z}{\varepsilon_0}.
Logo
\vec E(z)=\frac{\rho\,z}{\varepsilon_0}\,\hat z.
Região externa z>\tfrac d2. A pílula agora engloba toda a carga do slab, Q_{\rm int}=\rho\,A\,d=\sigma\,A. Repetindo o passo do plano fino,
\vec E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat z.
Por simetria, em z<-\tfrac d2,
\vec E=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat z.

Passo 4

Num condutor em equilíbrio eletrostático, \vec E=0 no interior. Se a carga total superficial era \sigma, por simetria metade vai para cada face em z=\pm\tfrac d2, ou seja, densidade em cada face \sigma/2. Assim:
Para -\tfrac d2<z<\tfrac d2, \vec E=0. Para z>\tfrac d2, usamos uma pílula que envolve apenas a face z=\tfrac d2. A carga interna é (\sigma/2)A e a face interna não contribui, então
E\,A=\frac{(\sigma/2)\,A}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0},
com direção para fora:
\vec E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat z.
Por simetria, em z<-\tfrac d2,
\vec E=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat z.

Resposta

(a) Para o plano infinito com densidade superficial \sigma: \displaystyle \vec E(z>0)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat z,\quad \vec E(z<0)=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat z. (b) Para o slab dielétrico com \rho=\sigma/d: \displaystyle \vec E(z)=\frac{\rho\,z}{\varepsilon_0}\,\hat z para -\tfrac d2<z<\tfrac d2, \displaystyle \vec E(z>\tfrac d2)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat z,\quad \vec E(z<-\tfrac d2)=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat z. (c) Para o slab condutor de espessura d: \displaystyle \vec E=0 em -\tfrac d2<z<\tfrac d2, \displaystyle \vec E(z>\tfrac d2)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat z,\quad \vec E(z<-\tfrac d2)=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat z.

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