Exercício 7:

Uma partícula que carrega carga +4 q está localizada na origem de um eixo x. Uma esfera sólida não condutora de raio R uniformemente carregada com carga +q está centralizada em x=+6 R no eixo x.
a) Em que posições no eixo x o campo elétrico é zero?
b) Se a esfera não condutora for substituída por uma esfera condutora de mesmo raio, carregada da mesma quantidade de carga, a resposta do item a) mudaria?

Passo 1

O enunciado envolve um campo elétrico gerado por duas distribuições de carga ao longo do eixo x: um ponto com carga +4q em x=0 e uma esfera sólida não condutora de raio R com carga total +q e centro em x=6R. O objetivo do item (a) é achar as posições sobre o eixo x onde o campo resultante se anula. No item (b) comparamos esse resultado com o caso em que a esfera passa a ser condutora, mantendo-se +q.

Passo 2

Dividimos o eixo em cinco regiões relevantes e analisamos a direção e a expressão do campo em cada uma:
  • Região I: x<0
  • Região II: 0<x<5R (fora da esfera, à esquerda)
  • Região III: 5R<x<6R (dentro da esfera, à esquerda do centro)
  • Região IV: 6R<x<7R (dentro da esfera, à direita do centro)
  • Região V: x>7R
Para cada região, escrevemos E_{\text{total}}=E_{4q}+E_{\text{esfera}}, levando em conta que campos de cargas positivas são direcionados para longe de suas cargas. Zeros só podem ocorrer onde os campos de 4q e de +q tenham sentidos opostos.

Passo 3

Na região II 0<x<5R, estamos fora da esfera, então a esfera se comporta como carga pontual +q em x=6R. Aqui
E_{4q}=\frac{k\,4q}{x^2}\quad\text{(para a direita)},\quad E_{\text{esfera}}=\frac{k\,q}{(6R - x)^2}\quad\text{(para a esquerda)}.
Para anular o campo, igualamos magnitudes:
\frac{4}{x^2}=\frac{1}{(6R-x)^2} \quad\Longrightarrow\quad 2(6R - x)=x \quad\Longrightarrow\quad x=4R.
Como 4R está em (0,5R), esse é um ponto de anulação.

Passo 4

Na região III 5R<x<6R, dentro da esfera não condutora e à esquerda do centro, o campo da esfera cresce linearmente com a distância ao centro:
E_{\text{esfera}} =k\,\frac{q_{\rm encl}}{r^2} =k\,\frac{q}{R^3}\,(6R - x) \quad\text{(para a esquerda)},
onde r=6R-x. Já
E_{4q}=\frac{k\,4q}{x^2}\quad\text{(para a direita)}.
Impondo E_{4q}=E_{\text{esfera}} em módulo,
\frac{4}{x^2}=\frac{6R-x}{R^3} \;\Longrightarrow\; x^2(6R-x)=4R^3 \;\Longrightarrow\; x^3-6R\,x^2+4R^3=0.
Normalizando y=x/R, obtemos y^3-6y^2+4=0, cujo único raiz em (5,6) é aproximadamente y\approx5{,}886. Logo
x\approx5{,}886\,R.

Passo 5

Nas outras regiões (I, IV e V) os sinais dos dois campos não se opõem de modo a permitir anulação. Concluímos, para a esfera não condutora:
\text{(a)}\quad x=4R \quad\text{e}\quad x\approx5{,}886\,R.

Passo 6

Para o item (b), na esfera condutora o campo é nulo em todo interior 5R<x<7R e fora se comporta como carga pontual +q em x=6R. Portanto só resta a mesma equação da Passo 3, que fornece
x=4R.
O zero em x\approx5{,}886R desaparece porque não há campo interno para se anular com E_{4q}.

Resposta

(a) x=4R e x\approx5{,}886\,R.
(b) Sim: com esfera condutora fica apenas x=4R.

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