Exercício 6:
Admitindo que um plano com densidade de carga uniforme seja infinito e esteja localizado em xy, calcule.
a) O campo elétrico em
e
. Considerar duas superfícies gaussianas diferentes.
b) Se o plano for um dielétrico (isolante) de espessura
. É possível utilizar Gauss para calcular o campo em
e
? Se sim, qual seria?
c) Se o plano for um condutor, qual é o campo em
e
?
a) O campo elétrico em
b) Se o plano for um dielétrico (isolante) de espessura
c) Se o plano for um condutor, qual é o campo em
Passo 1
O enunciado fala de um plano infinito com densidade superficial de carga uniforme
. Primeiro vamos usar a Lei de Gauss para achar o campo em
e
. Depois vemos o caso de um slab dielétrico de espessura
com carga volumétrica uniforme
e, por fim, um slab condutor de mesma espessura. Em todos os casos exploramos simetria e superfícies gaussianas cilíndricas (pílulas).
Passo 2
Para o plano infinito com densidade superficial
, por simetria o campo só depende de
e é perpendicular ao plano. Escolhemos uma pílula cilíndrica com faces de área
acima e abaixo do plano. Pela Lei de Gauss,
Apenas as duas bases contribuem, totalizando fluxo
, e a carga interna é
. Logo,
O sentido é para longe do plano, portanto
Passo 3
Para um slab isolante infinito de espessura
e carga volumétrica uniforme
, separamos em três regiões:
Região interna
. Escolhemos uma pílula que vai do plano médio até
. A carga interna vale
O fluxo pela face superior é
. Pela Lei de Gauss,
Logo
Região externa
. A pílula agora engloba toda a carga do slab,
. Repetindo o passo do plano fino,
Por simetria, em
,
Passo 4
Num condutor em equilíbrio eletrostático,
no interior. Se a carga total superficial era
, por simetria metade vai para cada face em
, ou seja, densidade em cada face
. Assim:
Para
,
Para
, usamos uma pílula que envolve apenas a face
. A carga interna é
e a face interna não contribui, então
com direção para fora:
Por simetria, em
,
Resposta
(a) Para o plano infinito com densidade superficial
:
(b) Para o slab dielétrico com
:
para
,
(c) Para o slab condutor de espessura
:
em
,