Exercício 5) Água é bombeada a partir de um reservatório inferior para um reservatório superior por uma bomba que fornece 20 kW de potência mecânica útil para a água. A superfície livre do reservatório superior é 45 m mais alta do que a superfície do reservatório inferior. Se a vazão de água é medida como 0,03 \mathrm{~m} 3 / \mathrm{s}, determine a perda irreversivel de carga total do sistema e a perda de potência mecânica durante este processo.

Passo 1

O enunciado diz que uma bomba fornece P=20\;\text{kW} de potência mecânica útil para bombear água de um reservatório inferior a um superior, com diferença de cota \Delta z=45\;\text{m} e vazão Q=0,03\;\mathrm{m^3/s}. Vamos usar a equação de energia (Bernoulli) incluindo a potência da bomba para encontrar a carga total fornecida e, a partir daí, separar a parte de ganho de altura da parte perdida em irreversibilidades.

Passo 2

A carga (ou altura) equivalente fornecida pela bomba é obtida dividindo-se a potência útil pela potência necessária para elevar a vazão contra a gravidade:
H_b = \frac{P}{\rho\,g\,Q}.
Adotando \rho=1000\;\mathrm{kg/m^3} e g=9{,}81\;\mathrm{m/s^2}, temos
H_b = \frac{20000}{1000 \times 9{,}81 \times 0,03}\approx 67{,}97\;\text{m}.

Passo 3

Desse total H_b, parte é usada para vencer a diferença de nível \Delta z e o resto se perde em cortes irreversíveis h_{\ell}:
h_{\ell} = H_b - \Delta z = 67{,}97 - 45 = 22{,}97\;\text{m}.

Passo 4

A potência dissipada por essas perdas é
P_{\ell} = \rho\,g\,Q\,h_{\ell}.
Substituindo numericamente,
P_{\ell} = 1000 \times 9{,}81 \times 0{,}03 \times 22{,}97 \approx 6760\;\text{W}\approx 6{,}76\;\text{kW}.

Resposta

A perda irreversível de carga total do sistema é aproximadamente 22,97\;\text{m} e a potência mecânica dissipada nessas perdas é cerca de 6,76\;\text{kW}.

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