A primitiva de
\int \frac{1}{\sqrt{25 x^{2}-4}} d x
é
\frac{1}{5} \ln \left|\frac{5 x}{2}-\frac{\sqrt{25 x^{2}-4}}{2}\right|+c
\frac{1}{5} \ln \left|\frac{5 x}{2}+\frac{\sqrt{25 x^{2}-4}}{2}\right|+c
\ln \left|\frac{5 x}{2}+\frac{\sqrt{25 x^{2}-4}}{2}\right|+c
\frac{1}{5} \ln \left|\frac{5 x}{2}+\frac{\sqrt{25 x^{2}+4}}{2}\right|+c
\frac{1}{5} \ln \left|\frac{\sqrt{25 x^{2}-4}}{2}\right|+c

Passo 1

O enunciado pede a primitiva de
\int \frac{1}{\sqrt{25x^{2}-4}}\,dx
Estamos num conteúdo de integrais de funções do tipo \int \frac{1}{\sqrt{a^{2}x^{2}-b^{2}}}\,dx. Vamos usar a fórmula padrão
\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}\,dx =\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\bigr|+C
e adaptar para o nosso caso.

Passo 2

Observe que
\sqrt{25x^{2}-4} =\sqrt{25\bigl(x^{2}-\tfrac{4}{25}\bigr)} =5\,\sqrt{x^{2}-\bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^{2}}.
Logo
\frac{1}{\sqrt{25x^{2}-4}} =\frac{1}{5}\,\frac{1}{\sqrt{x^{2}-\bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^{2}}}.
Isso transforma a integral em
\int \frac{1}{\sqrt{25x^{2}-4}}\,dx =\frac{1}{5}\,\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-\bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^{2}}}\,dx.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula
\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}\,dx =\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\bigr|+C
com a=\tfrac{2}{5}. Assim
\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-\bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^{2}}}\,dx =\ln\!\Bigl|x+\sqrt{x^{2}-\bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^{2}}\Bigr|+C.
Multiplicando por \tfrac{1}{5}, obtemos
\frac{1}{5}\,\ln\!\Bigl|x+\sqrt{x^{2}-\bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^{2}}\Bigr|+C.

Passo 4

Basta reescrever
x+\sqrt{x^{2}-\bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^{2}} =\frac{5x+\sqrt{25x^{2}-4}}{5} =\frac{1}{2}\,\Bigl(5x+\sqrt{25x^{2}-4}\Bigr)\,\times\!2.
No log, o fator constante vira parte da constante de integração. Então uma forma limpa é
\frac{1}{5}\,\ln\Bigl|\tfrac{5x}{2}+\tfrac{\sqrt{25x^{2}-4}}{2}\Bigr|+C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}\,\ln\Bigl|\frac{5x}{2}+\frac{\sqrt{25x^{2}-4}}{2}\Bigr|+C

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