Exercício 6. Análise das Equações de Maxwell em um meio material linear, isotrópico e homogêneo.
a) Escreva as quatro Equações de Maxwell na forma diferencial para um meio material linear, isotrópico e homogêneo, e explique a função das relações constitutivas.
b) Por que a permissividade, permeabilidade e condutividade do material são importantes para caracterizar a propagação de ondas eletromagnéticas nesse meio?
c) Em um meio dielétrico \operatorname{com} \epsilon_{r}=4 e \mu_{r}=1, a densidade de fluxo elétrico é \mathbf{D}=0.5 \cos (\omega t-\beta z) \mathbf{a}_{ \mathbf{x}} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}. Calcule a densidade de carga volumétrica \rho_{v}.
d) Para o meio do item (c), se a condutividade é \sigma=0.01 \mathrm{~S} / \mathrm{m}, e o campo elétrico associado é \mathbf{E}=10 \cos (\omega t-\beta z) \mathbf{a}_{ \mathbf{x}} \mathrm{V} / \mathrm{m}, calcule a densidade de corrente de condução \mathbf{J}_{ \mathbf{c}}.

Passo 1

O enunciado pede:
  • (a) escrever as quatro Equações de Maxwell na forma diferencial para um meio linear, isotrópico e homogêneo e explicar a função das relações constitutivas;
  • (b) justificar por que a permissividade, a permeabilidade e a condutividade são importantes na propagação de ondas eletromagnéticas;
  • (c) em um dielétrico com \epsilon_{r}=4 e \mu_{r}=1, dado \mathbf{D}=0.5\cos(\omega t-\beta z)\,\mathbf{a}_{x}\,\mathrm{C/m^{2}}, calcular a densidade de carga volumétrica \rho_{v};
  • (d) no mesmo meio, com \sigma=0.01\\ \mathrm{S/m} e \mathbf{E}=10\cos(\omega t-\beta z)\,\mathbf{a}_{x}\,\mathrm{V/m}, calcular a densidade de corrente de condução \mathbf{J}_{c}.
Conteúdo: Electromagnetismo (Equações de Maxwell em meio material).

Passo 2

As quatro Equações de Maxwell em forma diferencial são:
\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{v}
\nabla\cdot\mathbf{B}=0
\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}
\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}_{v}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}

Passo 3

Num meio linear, isotrópico e homogêneo definimos as relações constitutivas que ligam campos e respostas do material:
\mathbf{D}=\epsilon\,\mathbf{E},\qquad \mathbf{B}=\mu\,\mathbf{H},\qquad \mathbf{J}_{c}=\sigma\,\mathbf{E}
Aqui \epsilon=\epsilon_{r}\epsilon_{0} caracteriza a polarização elétrica, \mu=\mu_{r}\mu_{0} caracteriza a magnetização, e \sigma descreve a condutividade elétrica. Essas relações permitem fechar o sistema de equações de Maxwell, transformando-as em equações em \mathbf{E} e \mathbf{H}.

Passo 4

A permissividade \epsilon e a permeabilidade \mu determinam a velocidade de fase da onda
v=\frac{1}{\sqrt{\mu\,\epsilon}}
e a impedância característica
Z=\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}\,.
A condutividade \sigma gera atenuação pela perda ôhmica, pois aparece em termos de \mathbf{J}_{c}=\sigma\mathbf{E} e acarreta decaimento exponencial dos campos.

Passo 5

Para o item (c), usamos a lei de Gauss diferencial \nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{v}. Como \mathbf{D}=D_{x}(z,t)\,\mathbf{a}_{x} e D_{x} não depende de x, temos
\nabla\cdot\mathbf{D}=\frac{\partial D_{x}}{\partial x}=0
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\rho_{v}=0.

Passo 6

No item (d), usamos a relação de condução \mathbf{J}_{c}=\sigma\,\mathbf{E}. Então
\mathbf{J}_{c} =\;0.01\;\bigl[\,\mathrm{S/m}\bigr]\;\times 10\cos(\omega t-\beta z)\,\mathbf{a}_{x} \;=\;0.1\cos(\omega t-\beta z)\,\mathbf{a}_{x}\;\mathrm{A/m^{2}}.

Resposta

(a) \nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{v} \nabla\cdot\mathbf{B}=0 \nabla\times\mathbf{E}=-\partial\mathbf{B}/\partial t \nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}_{v}+\partial\mathbf{D}/\partial t
Com relações constitutivas \mathbf{D}=\epsilon\mathbf{E}, \mathbf{B}=\mu\mathbf{H}, \mathbf{J}_{c}=\sigma\mathbf{E}, que ligam campos às respostas do material.
(b) \epsilon e \mu determinam velocidade de fase v=1/\sqrt{\mu\epsilon} e impedância Z=\sqrt{\mu/\epsilon}. \sigma gera perda de energia e atenuação pela corrente de condução.
(c) \rho_{v}=0.
(d) \displaystyle\mathbf{J}_{c}=0.1\cos(\omega t-\beta z)\,\mathbf{a}_{x}\;\mathrm{A/m^{2}}.

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