Exercício 5. Considere as Equações de Maxwell em sua forma diferencial para o espaço livre.
a) Escreva as quatro Equações de Maxwell na forma diferencial para o espaço livre, assumindo que não há fontes (cargas nem correntes livres).
b) Como essas equações simplificadas são utilizadas para derivar as equações de onda para campos elétricos e magnéticos, e qual a velocidade dessas ondas no vácuo?
c) Um campo elétrico em uma região sem cargas e correntes é \mathbf{E}=E_{0} \sin (\omega t- k z) \mathbf{a}_{ \mathbf{x}}. Sabendo que \nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, determine a expressão para \mathbf{B}.
d) Se o campo elétrico do item (c) tem E_{0}=100 \mathrm{~V} / \mathrm{me} \omega=3 \times 10^{8} \mathrm{rad} / \mathrm{s}, e o
campo se propaga no espaço livre, calcule a magnitude máxima da densidade de fluxo magnético \mathbf{B}.

Passo 1

O enunciado trata das equações de Maxwell no espaço livre sem cargas nem correntes livres.
Conteúdo: forma diferencial das equações de Maxwell, derivação da equação de onda para \mathbf{E} e \mathbf{B}, relação entre campos de uma onda plana e cálculo de amplitude de \mathbf{B}.

Passo 2

a) No espaço livre sem fontes valem as quatro equações de Maxwell em forma diferencial:
\nabla\cdot\mathbf{E} = 0
\nabla\cdot\mathbf{B} = 0
\nabla\times\mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}
\nabla\times\mathbf{B} = \mu_{0}\,\epsilon_{0}\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}

Passo 3

b) Para derivar a equação de onda, aplicamos o rotacional em \nabla\times\mathbf{E}=-\partial\mathbf{B}/\partial t e usamos a identidade \nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{E})-\nabla^{2}\mathbf{E}. Como \nabla\cdot\mathbf{E}=0, resulta
-\nabla^{2}\mathbf{E} = \nabla\times\bigl(-\tfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\bigr) =\,-\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla\times\mathbf{B}\bigr) =-\mu_{0}\epsilon_{0}\,\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}.
Logo
\nabla^{2}\mathbf{E} = \mu_{0}\,\epsilon_{0}\,\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}.
De modo análogo obtém-se
\nabla^{2}\mathbf{B} = \mu_{0}\,\epsilon_{0}\,\frac{\partial^{2}\mathbf{B}}{\partial t^{2}}.
A velocidade de propagação dessas ondas no vácuo é
c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\,\epsilon_{0}}}.

Passo 4

c) Dado \mathbf{E}=E_{0}\,\sin(\omega t - k z)\,\mathbf{a}_{x} e usando \nabla\times\mathbf{E}=-\partial\mathbf{B}/\partial t, calculamos o campo magnético associado. Para uma onda de progressão no sentido +\!z e \mathbf{E}\parallel \mathbf{a}_{x}, tem-se \mathbf{B}\parallel \mathbf{a}_{y} e
B_{y} = \frac{E_{0}}{c}\,\sin(\omega t - k z).
Portanto
\mathbf{B} = \frac{E_{0}}{c}\,\sin(\omega t - k z)\,\mathbf{a}_{y}.

Passo 5

d) Com E_{0}=100\\ \mathrm{V/m} e c=3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}, a magnitude máxima de \mathbf{B} é
B_{\max} = \frac{E_{0}}{c} = \frac{100}{3\times10^{8}}\\ \mathrm{T} = 3{,}33\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.

Resposta

a)
\nabla\cdot\mathbf{E}=0,\quad \nabla\cdot\mathbf{B}=0,\quad \nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},\quad \nabla\times\mathbf{B}=\mu_{0}\epsilon_{0}\,\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.
b) \nabla^{2}\mathbf{E}=\mu_{0}\epsilon_{0}\,\partial^{2}\mathbf{E}/\partial t^{2}, \nabla^{2}\mathbf{B}=\mu_{0}\epsilon_{0}\,\partial^{2}\mathbf{B}/\partial t^{2}, velocidade c=1/\sqrt{\mu_{0}\epsilon_{0}}.
c) \displaystyle \mathbf{B}=\frac{E_{0}}{c}\,\sin(\omega t - k z)\,\mathbf{a}_{y}.
d) \displaystyle B_{\max}=3{,}33\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.

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