Exercício 5. (Apostol seção 1.10 exercício 22) Seja
e
dois subconjuntos de
. Denotamos por
(analogamente por
) o conjunto das combinações lineares de
, ou seja, dos elementos
, em que
e
. Mostre que
-
.
- Se
e
é um subespaço vetorial de
, então
. (Isto é o que significa dizer que
é o menor subespaço de
que contém
).
-
é um subespaço vetorial se, e somente se,
.
- Se
, então
.
- Se
e
são subespaços vetoriais de
, então
também é um subespaço de
.
- Se
e
são subconjuntos de
, então
.
- Dê um exemplo de subconjuntos de
tais que
.
Passo 1
O enunciado trabalha com um espaço vetorial
sobre
e dois subconjuntos
e
. Definimos
como o espaço gerado ou span de
. Precisamos então provar as propriedades de inclusão e igualdade entre
,
e seus spans, mostrar que interseção de subespaços é subespaço, e dar um exemplo em que
Passo 2
(
) Provar
.
Cada pode ser escrito como combinação linear trivial de um só vetor:
Cada
logo
. Como isso vale para todo
, temos
.
Passo 3
(
) Suponha
e que
é subespaço.
Se , então
Se
com
. Como
é fechado sob soma e multiplicação por escalares,
. Assim
.
Passo 4
(
) Mostrar que
é subespaço
.
“ ”: Se
é subespaço, então é fechado sob soma e escalares, de modo que qualquer combinação linear de vetores de
volta a ficar em
, isto é,
. Juntando com (
),
, obtemos
.
“ ”: Se
, então
coincide com seu span, que sempre é subespaço; logo
próprio é subespaço.
“
“
Passo 5
(
) Se
, então
.
Qualquer combinação linear de elementos de é uma combinação de elementos de
, pois
. Logo
.
Qualquer combinação linear de elementos de
Passo 6
(
) Se
e
são subespaços de
, então
é subespaço de
.
.
pois ambos têm o vetor zero.
. Se
, então
e
(fechamento), logo
.
. Se
e
, então
e
, logo
.
Passo 7
(
) Se
são quaisquer, então
logo
Isso decorre de que cada combinação de vetores em
é combinação ao mesmo tempo de
e de
.
Passo 8
(
) Exemplo em que a inclusão é estrita.
Tome ,
Tome
Então
enquanto
Logo
Resposta
temos