Exercício 5. (Apostol seção 1.10 exercício 22) Seja S subset V e T subset V dois subconjuntos de V. Denotamos por L(S) (analogamente por L(T) ) o conjunto das combinações lineares de S, ou seja, dos elementos a1 u1+ldots+ak uk, em que u1, ldots, uk in S, a1, ldots, ak in R e k in N0. Mostre que
  1. S subset L(S).
  2. Se S subset T subset V e T é um subespaço vetorial de V, então L(S) subset T. (Isto é o que significa dizer que L(S) é o menor subespaço de V que contém S ).
  3. S é um subespaço vetorial se, e somente se, S=L(S).
  4. Se S subset T subset V, então L(S) subset L(T) subset V.
  5. Se S e T são subespaços vetoriais de V, então S cap T também é um subespaço de V.
  6. Se S e T são subconjuntos de V, então L(S cap T) subset L(S) cap L(T).
  7. Dê um exemplo de subconjuntos de V tais que L(S cap T) neq L(S) cap L(T).

Passo 1

O enunciado trabalha com um espaço vetorial V sobre R e dois subconjuntos Ssubset V e Tsubset V. Definimos
L(S)=la1u1+cdots+akukmid kinN0,;uiin S,;aiinRr
como o espaço gerado ou span de S. Precisamos então provar as propriedades de inclusão e igualdade entre S, T e seus spans, mostrar que interseção de subespaços é subespaço, e dar um exemplo em que
L(Scap T)subsetneqq L(S)cap L(T)

Passo 2

( 1) Provar Ssubset L(S).
Cada uin S pode ser escrito como combinação linear trivial de um só vetor:
u = 1cdot u,
logo uin L(S). Como isso vale para todo uin S, temos Ssubset L(S).

Passo 3

( 2) Suponha Ssubset Tsubset V e que T é subespaço.
Se xin L(S), então
x = a1u1+cdots+akuk
com uiin Ssubset T. Como T é fechado sob soma e multiplicação por escalares, xin T. Assim L(S)subset T.

Passo 4

( 3) Mostrar que S é subespaço Leftrightarrow S = L(S).
Rightarrow”: Se S é subespaço, então é fechado sob soma e escalares, de modo que qualquer combinação linear de vetores de S volta a ficar em S, isto é, L(S)subset S. Juntando com ( 1), Ssubset L(S), obtemos S=L(S).
Leftarrow”: Se S=L(S), então S coincide com seu span, que sempre é subespaço; logo S próprio é subespaço.

Passo 5

( 4) Se Ssubset Tsubset V, então L(S)subset L(T).
Qualquer combinação linear de elementos de S é uma combinação de elementos de T, pois Ssubset T. Logo L(S)subset L(T)subset V.

Passo 6

( 5) Se S e T são subespaços de V, então Scap T é subespaço de V.
1. 0in Scap T pois ambos têm o vetor zero.
2. Se x,yin Scap T, então x+yin S e x+yin T (fechamento), logo x+yin Scap T.
3. Se xin Scap T e lambdainR, então lambda xin S e lambda xin T, logo lambda xin Scap T.

Passo 7

( 6) Se S,Tsubset V são quaisquer, então
L(Scap T)subset L(S)e L(Scap T)subset L(T),
logo
L(Scap T)subset L(S)cap L(T)
Isso decorre de que cada combinação de vetores em Scap T é combinação ao mesmo tempo de S e de T.

Passo 8

( 7) Exemplo em que a inclusão é estrita.
Tome V=R^2,
S=(1,0),(0,1), T=(1,1),(1,-1)
Então
Scap T=emptyset, L(Scap T)=L(emptyset)=0,
enquanto
L(S)=R^2, L(T)=R^2 Longrightarrow L(S)cap L(T)=R^2
Logo
L(Scap T)=0;subsetneqq;R^2 = L(S)cap L(T)

Resposta

1. Ssubset L(S).
2. Se Ssubset T e T subespaço, então L(S)subset T.
3. S é subespaço Leftrightarrow S=L(S).
4. Ssubset T implica L(S)subset L(T).
5. Se S,T subespaços, então Scap T é subespaço.
6. L(Scap T)subset L(S)cap L(T).
7. Exemplo: em R^2, com
S=(1,0),(0,1), T=(1,1),(1,-1),
temos L(Scap T)=0neqR^2=L(S)cap L(T).

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