1. Três amigos se despediram ao meio dia e foram para casa. Um deles estava de moto, o outro de carro e o terceiro de bicicleta. O que viajava de carro saiu para o norte com velocidade de 50 km / h, o que estava de moto viajou para o leste com velocidade de 30 km / h e o último foi para o sul com velocidade de 10 km / h. Passadas duas horas, qual a taxa de variação da área do triângulo formado pela posição dos três amigos?

Passo 1

Resumindo o enunciado: três amigos partem juntos do mesmo ponto ao meio-dia. Um vai para o norte a 50 km/h, outro para o leste a 30 km/h e o terceiro para o sul a 10 km/h. A tarefa é encontrar a taxa de variação da área do triângulo formado por suas posições, em particular depois de 2 h. O conteúdo envolvido é modelagem com coordenadas e cálculo de derivada de área.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas com origem no ponto de partida e tempo t em horas. As posições são:
– Carro (norte): (0,50t).
– Moto (leste): (30t,0).
– Bicicleta (sul): (0,-10t).

Passo 3

Para calcular a área do triângulo, note que o segmento entre a posição do carro e da bicicleta é vertical, com comprimento
De<a y = 50t - (-10t) = 60t
A distância horizontal perpendicular desse segmento até a posição da moto é lvert xmotorvert = 30t. Logo a área é
A(t) = tfrac12 times (base) times (a<ura) = tfrac12 times (60t)times(30t) = 900,t^2

Passo 4

Derivando em relação a t,
dAdt = 1800,t
Em t=2 horas,
dAdtl|t=2 = 1800 times 2 = 3600
A unidade é km^2/h.

Resposta

3600 km^2/h

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