Três amigos se despediram ao meio dia e foram para casa. Um deles estava de moto, o outro de carro e o terceiro de bicicleta. O que viajava de carro saiu para o norte com velocidade de , o que estava de moto viajou para o leste com velocidade de e o último foi para o sul com velocidade de . Passadas duas horas, qual a taxa de variação da área do triângulo formado pela posição dos três amigos?
Passo 1
Resumindo o enunciado: três amigos partem juntos do mesmo ponto ao meio-dia. Um vai para o norte a km/h, outro para o leste a km/h e o terceiro para o sul a km/h. A tarefa é encontrar a taxa de variação da área do triângulo formado por suas posições, em particular depois de h. O conteúdo envolvido é modelagem com coordenadas e cálculo de derivada de área.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas com origem no ponto de partida e tempo em horas. As posições são:
– Carro (norte): .
– Moto (leste): .
– Bicicleta (sul): .
Passo 3
Para calcular a área do triângulo, note que o segmento entre a posição do carro e da bicicleta é vertical, com comprimento
A distância horizontal perpendicular desse segmento até a posição da moto é . Logo a área é