Exercício 3. (Apostol seção 13.4 exercícios 10) Sejam
e
dois subconjuntos de um conjunto
. Definimos a diferença simétrica de
e
por
. Prove as propriedades abaixo:
.
Passo 1
O enunciado define, para dois subconjuntos
e
de um conjunto
, a diferença simétrica
e pede para provar
Vamos fazer prova elemento a elemento usando casos de pertencimento.
Passo 2
Seja
. Por definição, isso significa que ou
Analisamos cada caso.
Passo 3
Caso (i):
. Então
e
.
Se , então
.
Se , então
.
Em qualquer dos dois subcasos segue que
Se
Se
Em qualquer dos dois subcasos segue que
Passo 4
Caso (ii):
. Então
e
.
Se , então
.
Se , então
.
Novamente, em ambos os subcasos obtemos
Se
Se
Novamente, em ambos os subcasos obtemos
Passo 5
Como em todos os casos partindo de
concluímos
, temos a inclusão desejada.