Exercício 3. (Apostol seção 13.4 exercícios 10) Sejam A e B dois subconjuntos de um conjunto S. Definimos a diferença simétrica de A e B por A De<a B:=(A backslash B) cup(B backslash A). Prove as propriedades abaixo:
A triang<= B subset(A triang<= C) cup(C triang<= B).

Passo 1

O enunciado define, para dois subconjuntos A e B de um conjunto S, a diferença simétrica
ADe<a B := (Asetminus B);cup;(Bsetminus A)
e pede para provar
A De<a B ;subset;(A De<a C);cup;(C De<a B)
Vamos fazer prova elemento a elemento usando casos de pertencimento.

Passo 2

Seja xin ADe<a B. Por definição, isso significa que ou
xin Asetminus B ou xin Bsetminus A
Analisamos cada caso.

Passo 3

Caso (i): xin Asetminus B. Então xin A e xnotin B.
Se xnotin C, então xin Asetminus Csubset ADe<a C.
Se xin C, então xin Csetminus Bsubset CDe<a B.
Em qualquer dos dois subcasos segue que
xin (ADe<a C);cup;(CDe<a B)

Passo 4

Caso (ii): xin Bsetminus A. Então xin B e xnotin A.
Se xin C, então xin Csetminus Asubset ADe<a C.
Se xnotin C, então xin Bsetminus Csubset CDe<a B.
Novamente, em ambos os subcasos obtemos
xin (ADe<a C);cup;(CDe<a B)

Passo 5

Como em todos os casos partindo de xin ADe<a B concluímos xin (ADe<a C)cup(CDe<a B), temos a inclusão desejada.

Resposta

A De<a B ;subset;(A De<a C);cup;(C De<a B)

Exercícios relacionados