Exercício 3. (Apostol seção 13.4 exercícios 10) Sejam A e B dois subconjuntos de um conjunto S. Definimos a diferença simétrica de A e B por A De<a B:=(A backslash B) cup(B backslash A). Prove as propriedades abaixo:
(A triang<= B) triang<= C=A triang<=(B triang<= C).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer subconjuntos A,B,Csubseteq S, vale
(Atriang<= B)triang<= C ;=; Atriang<=(Btriang<= C)
O conteúdo usado será a definição de diferença simétrica
Xtriang<= Y ;=;(Xsetminus Y),cup,(Ysetminus X)
e raciocínio por elementos, expandindo as condições de pertinência com lógica de “e”, “ou” e negações.

Passo 2

Para provar igualdade de conjuntos por elemento, seja xin S. Mostramos
xin (Atriang<= B)triang<= C Long<=ftrightarrow xin Atriang<= (Btriang<= C)

Passo 3

Expandindo xin (Atriang<= B)triang<= C:
xin (Atriang<= B)triang<= C Long<=ftrightarrow l[xin Atriang<= B;wed>=;xnotin Cr] ;lor; l[xnotin Atriang<= B;wed>=;xin Cr]
Como
xin Atriang<= B Long<=ftrightarrow (xin Awed>= xnotin B);lor;(xnotin Awed>= xin B),
temos dois casos:
1. xin Atriang<= B e xnotin C geram os termos
(xin Awed>= xnotin Bwed>= xnotin C) lor (xnotin Awed>= xin Bwed>= xnotin C)
2. xnotin Atriang<= B e xin C equivale a
negl[(xin Awed>= xnotin B)lor(xnotin Awed>= xin B)r];wed>=;(xin C),
que por De Morgan e distributividade dá exatamente
(xin Awed>= xin Bwed>= xin C) lor (xnotin Awed>= xnotin Bwed>= xin C)
Juntando tudo:
xin (Atriang<= B)triang<= C Long<=ftrightarrow [t] &(xin Awed>= xnotin Bwed>= xnotin C) lor;&(xnotin Awed>= xin Bwed>= xnotin C) lor;&(xin Awed>= xin Bwed>= xin C) lor;&(xnotin Awed>= xnotin Bwed>= xin C)

Passo 4

Agora expandimos xin Atriang<=(Btriang<= C):
xin Atriang<=(Btriang<= C) Long<=ftrightarrow l[xin Awed>= xnotin Btriang<= Cr] ;lor; l[xnotin Awed>= xin Btriang<= Cr]
Como
xin Btriang<= C Long<=ftrightarrow (xin Bwed>= xnotin C);lor;(xnotin Bwed>= xin C),
fazemos os dois casos:
1. xin A e xnotin Btriang<= C geram, por De Morgan e distributividade,
(xin Awed>= xnotin Bwed>= xnotin C) lor (xin Awed>= xin Bwed>= xin C)
2. xnotin A e xin Btriang<= C dão
(xnotin Awed>= xin Bwed>= xnotin C) lor (xnotin Awed>= xnotin Bwed>= xin C)
Somando:
xin Atriang<=(Btriang<= C) Long<=ftrightarrow [t] &(xin Awed>= xnotin Bwed>= xnotin C) lor;&(xin Awed>= xin Bwed>= xin C) lor;&(xnotin Awed>= xin Bwed>= xnotin C) lor;&(xnotin Awed>= xnotin Bwed>= xin C)

Passo 5

As duas expressões envolvendo quatro somas lógicas coincidem termo a termo, pois os conjunjtos dos quatro tripleamentos são idênticos em ambas as expansões. Logo,
x in (A triang<= B) triang<= C Long<=ftrightarrow x in A triang<= (B triang<= C)
para todo x.

Resposta

Portanto ;(Atriang<= B)triang<= C = Atriang<=(Btriang<= C), isto é, a diferença simétrica é associativa.

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