Exercício 3. (Apostol seção 13.4 exercícios 10) Sejam
e
dois subconjuntos de um conjunto
. Definimos a diferença simétrica de
e
por
. Prove as propriedades abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer subconjuntos
, vale
O conteúdo usado será a definição de diferença simétrica
e raciocínio por elementos, expandindo as condições de pertinência com lógica de “e”, “ou” e negações.
Passo 2
Para provar igualdade de conjuntos por elemento, seja
. Mostramos
Passo 3
Expandindo
:
Como
temos dois casos:
que por De Morgan e distributividade dá exatamente
Juntando tudo:
Passo 4
Agora expandimos
:
Como
fazemos os dois casos:
Somando:
Passo 5
As duas expressões envolvendo quatro somas lógicas coincidem termo a termo, pois os conjunjtos dos quatro tripleamentos são idênticos em ambas as expansões. Logo,
para todo
.
Resposta
Portanto
, isto é, a diferença simétrica é associativa.