Se x é a velocidade do vento ( em m / seg ) e y é a temperatura ( em^circ C ), então o fator de resfriamento eólico F(em(kcal / m^2) / hr) é dado por
F=(33-y)(10 raizx-x+10,5)
(a) Ache as velocidades e temperaturas para as quais F é 0 . (Admita que 0 <= x <= 50 e -50 <= y <= 50.)
(b) Se F >= 1400, pode ocorrer congelamento em partes expostas do corpo humano. Esboce o gráfico da curva de nível F=1400.

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x,y) = (33 - y),l(10raizx ;-; x ;+;10,5r)
com domínio 0 <= x <= 50, -50 <= y <= 50.
Conteúdo: curvas de nível e fatoração. Para (a) achamos onde F=0 pelos fatores; para (b) fazemos a curva de nível F=1400, isolamos y, identificamos domínio relevante e alguns pontos, depois esboçamos.

Passo 2

Para F=0 basta que um dos fatores seja zero. Assim temos as duas equações
33 - y = 0 ou 10raizx - x + 10,5 = 0

Passo 3

Da primeira vem
y = 33,
que vale para qualquer xin[0,50].
Para a segunda, ponha u=raizx>=0. Então
10u - u^2 +10,5 = 0 ;Longrightarrow; u^2 -10u -10,5 = 0 ;Longrightarrow; u = 10 pm raiz100 + 422 = 10 pm raiz1422
A única raiz positiva é uapprox10,958, dando x = u^2approx120,1, fora do intervalo [0,50]. Logo nenhum zero real em [0,50].

Passo 4

Concluímos que a única solução de F(x,y)=0 no domínio é
y = 33, 0 <= x <= 50

Passo 5

Para a curva de nível F=1400 escrevemos
(33 - y),l(10raizx - x + 10,5r) = 1400 ;Longrightarrow; y = 33 ;-;1400,10raizx - x +10,5,
O denominador D(x)=10raizx-x+10,5 é sempre positivo em [0,50], pois sua única raiz está em xapprox120.

Passo 6

Como y>= -50, vemos que para xto0^+ temos D(0)=10,5 e então yto33-1400/10,5approx -100, abaixo de -50. Logo a curva entra no retângulo a partir do ponto em que y=-50.
Impondo y=-50 na expressão de y obtém-se
10raizx-x+10,5 = 140083approx16,87
que dá raizxapprox0,685 (a outra raiz está fora do domínio), isto é, xapprox0,47.

Passo 7

O máximo de y ocorre quando o denominador D(x) é máximo.
D'(x)=102raizx -1 = 0 ;Longrightarrow; raizx=5 ;Longrightarrow; x=25
Em x=25 temos
D(25)=10cdot5 -25 +10,5 = 35,5 Longrightarrow y = 33 - 140035,5approx -6,44

Passo 8

Alguns pontos da curva F=1400:
em xapprox0,47, y=-50;
em x=5,
y = 33 - 140010raiz5-5+10,5approx -17,2;
em x=9, yapprox -11,4;
em x=25, yapprox -6,44 (máximo);
em x=50, yapprox -11,9.
Traçando esses pontos e ligando suavemente, temos a curva de nível F=1400, que entra em (0,47,-50), sobe até (25,-6,44) e desce até (50,-11,9).

Resposta

(a) F=0 se e só se
y = 33, 0<= x<= 50
(b) A curva de nível F=1400 é dada por
y = 33 ;-;1400,10raizx-x+10,5,,
com x variando de aproximadamente 0,47 (onde y=-50) até 50. A curva atinge seu valor máximo yapprox -6,44 em x=25.

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