Exercício 2. (Apostol seção 13.4 exercícios 5, 6, 7 e 8) Seja
um conjunto.
a) Dado
, mostre que
é a menor álgebra Booleana que contém
.
b) Dados
e
, qual é a menor álgebra Booleana que contém
e
?
c) Dados
e
, qual é a menor álgebra Booleana que contém
e
?
d) Dados
, mostre que a menor álgebra Booleana que contém todos estes conjuntos tem
elementos se
tem mais do que
elementos, e tem
elementos se
tem exatamente
elementos.
a) Dado
b) Dados
c) Dados
d) Dados
Passo 1
O enunciado pede a construção da menor álgebra Booleana em
que contém certos subconjuntos pontuais.
Uma álgebra Booleana em é uma coleção
fechada sob complemento (relativo a
) e uniões finitas (e, portanto, interseções finitas).
Para achar a álgebra gerada por conjuntos , usamos o método dos átomos: formamos todas as interseções
Uma álgebra Booleana em
Para achar a álgebra gerada por conjuntos
onde cada
é
ou
. Essas interseções particionam
em peças mínimas (átomos), e a álgebra gerada é o conjunto de todas as uniões desses átomos.
Passo 2
(a) Para
, proponho
- Verifico que
é álgebra: - Complemento de
é , de é , de é e vice-versa. - Uniões:
, uniões com ou mantêm-se em .
- Complemento de
- Minimalidade: se
é qualquer álgebra contendo , então por fechamento deve conter (união vazia), (complemento de ) e (complemento de ). Logo .
Passo 3
(b) Para
e
, listo as interseções
Elas são:
Os três últimos são os átomos não vazios. A menor álgebra é o conjunto de todas as uniões desses três átomos, ou seja
conjuntos.
Passo 4
(c) Para
, fazemos as
interseções
,
. Dessas, só são não-vazias as que contêm exatamente um
(dando
) e a que contém todos os
(dando
). Portanto há 4 átomos, e a álgebra gerada tem
uniões.
Passo 5
(d) Em geral, para
,
, formam-se
interseções
com
.
- Se
, as únicas interseções não-vazias são cada (quando escolhemos e os outros ) e (quando todos são ). São átomos, gerando uniões. - Se
, então e restam só átomos, gerando uniões.
Resposta
a)
.
b) Álgebra das uniões dos átomos , total de
conjuntos.
c) Álgebra das uniões dos átomos , total de
conjuntos.
d) Com singletons, se
então a menor álgebra tem
elementos; se
tem
elementos.
b) Álgebra das uniões dos átomos
c) Álgebra das uniões dos átomos
d) Com