Exercício 1. (Apostol seção 13.4 exercício 4) Seja
uma função finitamente aditiva agindo em conjuntos Booleanos
de
. Mostre, usando indução finita, que
em que os conjuntos
são disjuntos.
Passo 1
O enunciado dá uma função
finitamente aditiva, isto é, sempre que
e
vale
Queremos mostrar por indução em
que, para quaisquer conjuntos disjuntos
em
,
Passo 2
(Caso base
). Se só existe um conjunto
, então
logo a fórmula vale para
.
Passo 3
(Passo indutivo). Suponha que a propriedade valha para algum
, ou seja, sempre que temos
conjuntos disjuntos
Queremos provar que vale também para
conjuntos disjuntos
. Note que
e
é disjunto de
por hipótese. Logo, pela finita aditividade em dois conjuntos disjuntos,
Aplicando a hipótese de indução ao primeiro termo, obtemos
como queríamos.
Resposta
Para toda família finita de conjuntos disjuntos
em
vale