Exercício 1. (Apostol seção 13.4 exercício 4) Seja f: B R uma função finitamente aditiva agindo em conjuntos Booleanos B de S. Mostre, usando indução finita, que
f(cupk=1^n Ak)=sumk=1^n f(Ak)
em que os conjuntos Ak são disjuntos.

Passo 1

O enunciado dá uma função f:BtoR finitamente aditiva, isto é, sempre que A,BinB e Acap B=varnothing vale
f(Acup B)=f(A)+f(B)
Queremos mostrar por indução em n que, para quaisquer conjuntos disjuntos A1,dots,An em B,
fl(cupk=1^nAkr) =sumk=1^nf(Ak)

Passo 2

(Caso base n=1). Se só existe um conjunto A1, então
cupk=1^1Ak=A1 Longrightarrow fl(cupk=1^1Akr)=f(A1) =sumk=1^1f(Ak),
logo a fórmula vale para n=1.

Passo 3

(Passo indutivo). Suponha que a propriedade valha para algum n>=1, ou seja, sempre que temos n conjuntos disjuntos A1,dots,An
fl(cupk=1^nAkr) =sumk=1^nf(Ak)
Queremos provar que vale também para n+1 conjuntos disjuntos A1,dots,An,An+1. Note que
cupk=1^n+1Ak =l(cupk=1^nAkr);cup;An+1,
e cupk=1^nAk é disjunto de An+1 por hipótese. Logo, pela finita aditividade em dois conjuntos disjuntos,
fl(cupk=1^n+1Akr) =fl(cupk=1^nAkr)+f(An+1)
Aplicando a hipótese de indução ao primeiro termo, obtemos
fl(cupk=1^n+1Akr) =sumk=1^nf(Ak)+f(An+1) =sumk=1^n+1f(Ak),
como queríamos.

Resposta

Para toda família finita de conjuntos disjuntos A1,dots,An em B vale
fl(cupk=1^nAkr) =sumk=1^nf(Ak)

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