Exercício 7. (Apostol seção 14.12 exercício 6) Uma variável aleatória tem distribuição uniforme sobre [-3,3].
a) Calcule P(X=2), P(X<2), P(|X|<2), P(|X-2|<2).
b) Ache t para o qual P(X>t)=13.

Passo 1

O enunciado diz que
e que para qualquer intervalo (A\subset\mathbb{R}],

Passo 2

Para qualquer distribuição contínua,
P(X=2)=0,
pois a probabilidade em um ponto isolado é nula.

Passo 3

Para P(X<2) computamos
P(X<2)=integral-3^216,dx =2-(-3)6 =56

Passo 4

Para P(|X|<2), o evento é -2<X<2, de comprimento 4, logo
P(|X|<2)=46=23
Para P(|X-2|<2), o evento é 0<X<4, mas como X só varia em [-3,3], fica 0<X<=3, de comprimento 3, portanto
P(|X-2|<2)=36=12

Passo 5

Queremos t tal que
P(X>t)=integralt^316,dx =3-t6 =13
Da igualdade tfrac3-t6=tfrac13 vem 3-t=2, ou seja
t=1

Resposta

(a) P(X=2)=0, P(X<2)=tfrac56, P(|X|<2)=tfrac23, P(|X-2|<2)=tfrac12
(b) t=1

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