• Exercício 5: Em um aquário com 5 peixes dourados e 10 peixes pretos, capturamos 2 peixes ao acaso sem devolução. Qual a probabilidade de capturar um de cada cor?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • No aquário há 5 peixes dourados e 10 peixes pretos, totalizando 15 peixes.
  • Capturamos 2 peixes ao acaso sem devolução (ou seja, sem reposição).
    A pergunta é: qual a probabilidade de capturar exatamente um peixe de cada cor (ou seja, um dourado e um preto) nas duas capturas?

Passo 2

Primeira ideia clara: como a captura é sem devolução, a probabilidade do segundo sorteio depende do que ocorreu no primeiro sorteio — essa é a noção de probabilidade condicional. Vou resolver com o método sequencial (bem direto para prova) e depois fazer um checagem rápida usando contagem combinatória (outra técnica que cai bastante em prova). Assim a resposta fica mais confiável e você aprende duas abordagens.

Passo 3

Conceito útil: probabilidade de dois acontecimentos sequenciais A e B acontecerem é
P(A\cap B)=P(A)\,P(B\mid A),
onde P(B\mid A) é a probabilidade de B ocorrer dado que A já ocorreu. No nosso caso temos duas ordens possíveis que cumprem “um de cada cor”:
  • primeiro dourado e depois preto;
  • primeiro preto e depois dourado.
    Vou calcular as duas probabilidades e somá-las (porque são eventos disjuntos).

Passo 4

Calcular P(\text{dourado no 1º e preto no 2º})ºº.
  • Probabilidade de pegar dourado no primeiro sorteio:
P(\text{dourado no 1º})=\frac{5}{15}.º
  • Depois de tirar um dourado, restam 4 dourados e 10 pretos, total 14. Probabilidade de tirar preto no segundo sorteio dado que o primeiro foi dourado:
P(\text{preto no 2º}\mid \text{dourado no 1º})=\frac{10}{14}.ºº
Multiplicando:
P(\text{dourado então preto})=\frac{5}{15}\cdot\frac{10}{14}.ã
Simplificando frações passo a passo:
\frac{5}{15}=\frac{1}{3},\qquad \frac{10}{14}=\frac{5}{7},
então
\frac{1}{3}\cdot\frac{5}{7}=\frac{5}{21}.

Passo 5

Calcular P(\text{preto no 1º e dourado no 2º})ºº.
  • Probabilidade de pegar preto no primeiro sorteio:
P(\text{preto no 1º})=\frac{10}{15}.º
  • Depois de tirar um preto, restam 5 dourados e 9 pretos, total 14. Probabilidade de tirar dourado no segundo sorteio dado que o primeiro foi preto:
P(\text{dourado no 2º}\mid \text{preto no 1º})=\frac{5}{14}.ºº
Multiplicando:
P(\text{preto então dourado})=\frac{10}{15}\cdot\frac{5}{14}.ã
Simplificando:
\frac{10}{15}=\frac{2}{3},\qquad \frac{2}{3}\cdot\frac{5}{14}=\frac{10}{42}=\frac{5}{21}.

Passo 6

Somar as duas possibilidades (são mutuamente exclusivas):
P(\text{um de cada cor})=\frac{5}{21}+\frac{5}{21}=\frac{10}{21}.
Em forma decimal aproximada:
\frac{10}{21}\approx 0,47619\ldots

Passo 7

Verificação por contagem combinatória (cheque rápido que cai em prova):
  • Número de formas de escolher 1 dourado dentre 5 e 1 preto dentre 10:
\binom{5}{1}\binom{10}{1}=5\cdot10=50.
  • Número total de formas de escolher 2 peixes dentre 15:
\binom{15}{2}=\frac{15\cdot14}{2}=105.
Probabilidade:
\frac{50}{105}=\frac{10}{21},
o mesmo resultado. Bom sinal — ambos os métodos concordam.

Passo 8

Interpretação rápida para a prova: a resposta em fração \dfrac{10}{21} é exata e costuma ser a forma pedida; em porcentagem isso dá cerca de 47,62\%. Na prova, o método sequencial é rápido (calcula duas ordens e soma) e a verificação combinatória é útil para confirmar.

Resposta

\dfrac{10}{21}\approx 0,47619

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