- Exercício 5: Em um aquário com 5 peixes dourados e 10 peixes pretos, capturamos 2 peixes ao acaso sem devolução. Qual a probabilidade de capturar um de cada cor?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- No aquário há
peixes dourados e peixes pretos, totalizando peixes. - Capturamos
peixes ao acaso sem devolução (ou seja, sem reposição).
A pergunta é: qual a probabilidade de capturar exatamente um peixe de cada cor (ou seja, um dourado e um preto) nas duas capturas?
Passo 2
Primeira ideia clara: como a captura é sem devolução, a probabilidade do segundo sorteio depende do que ocorreu no primeiro sorteio — essa é a noção de probabilidade condicional. Vou resolver com o método sequencial (bem direto para prova) e depois fazer um checagem rápida usando contagem combinatória (outra técnica que cai bastante em prova). Assim a resposta fica mais confiável e você aprende duas abordagens.
Passo 3
Conceito útil: probabilidade de dois acontecimentos sequenciais
e
acontecerem é
onde
é a probabilidade de
ocorrer dado que
já ocorreu. No nosso caso temos duas ordens possíveis que cumprem “um de cada cor”:
- primeiro dourado e depois preto;
- primeiro preto e depois dourado.
Vou calcular as duas probabilidades e somá-las (porque são eventos disjuntos).
Passo 4
Calcular
.
- Probabilidade de pegar dourado no primeiro sorteio:
- Depois de tirar um dourado, restam
dourados e pretos, total . Probabilidade de tirar preto no segundo sorteio dado que o primeiro foi dourado:
Multiplicando:
Simplificando frações passo a passo:
então
Passo 5
Calcular
.
- Probabilidade de pegar preto no primeiro sorteio:
- Depois de tirar um preto, restam
dourados e pretos, total . Probabilidade de tirar dourado no segundo sorteio dado que o primeiro foi preto:
Multiplicando:
Simplificando:
Passo 6
Somar as duas possibilidades (são mutuamente exclusivas):
Em forma decimal aproximada:
Passo 7
Verificação por contagem combinatória (cheque rápido que cai em prova):
- Número de formas de escolher
dourado dentre e preto dentre :
- Número total de formas de escolher
peixes dentre :
Probabilidade:
o mesmo resultado. Bom sinal — ambos os métodos concordam.
Passo 8
Interpretação rápida para a prova: a resposta em fração
é exata e costuma ser a forma pedida; em porcentagem isso dá cerca de
. Na prova, o método sequencial é rápido (calcula duas ordens e soma) e a verificação combinatória é útil para confirmar.