• Exercício 3: Uma máquina de café serve doses com média de \mathbf{1 5 0 ~ m l} e desvio padrão de \mathbf{5 ~ m l}. Qual a probabilidade de uma dose selecionada ao acaso ter mais de \mathbf{1 6 0 ~ m l} ?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A máquina serve doses com média \mu=150\\ \text{ml}.
  • O desvio padrão é \sigma=5\\ \text{ml}.
    O que o problema pede:
  • Calcular a probabilidade de uma dose selecionada ao acaso ter mais de 160\\ \text{ml}, ou seja, encontrar P(X>160) onde X é a medida da dose.

Passo 2

Escolha do procedimento (explicação rápida e prática).
  • Para esse tipo de problema com média e desvio padrão, o caminho padrão é trabalhar com a distribuição normal e usar a padronização para transformar X numa variável normal padrão Z. Isso permite usar tabelas da normal padrão ou valores conhecidos.
  • Vou assumir que as doses variam de modo aproximadamente normal (é a suposição usual para medidas de produção/erros aleatórios). Com essa suposição, procedemos padronizando.

Passo 3

O que é a padronização e por que fazemos isso (aula rápida).
  • Se X é uma variável normal com média \mu e desvio padrão \sigma, escrevemos isso como X\sim N(\mu,\sigma^2).
  • A normal padrão é uma normal com média 0 e desvio padrão 1; chamamos essa variável de Z e escrevemos Z\sim N(0,1).
  • Para transformar X em Z usamos a fórmula de padronização:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
  • Essa fórmula pega a distância entre X e a média \mu e mede essa distância em unidades de desvio padrão \sigma. Depois de padronizar, podemos usar a tabela da função de distribuição acumulada da normal padrão, que denotamos por \Phi(z)=P(Z\le z).

Passo 4

Aplicando a padronização ao valor pedido.
  • Queremos P(X>160). Primeiro calculamos o valor z correspondente a x=160 pela fórmula:
z=\frac{160-\mu}{\sigma}=\frac{160-150}{5}.
  • Fazendo a conta:
z=\frac{10}{5}=2.

Passo 5

Expressar a probabilidade em termos de Z e usar a tabela.
  • Temos
P(X>160)=P\!\left(\frac{X-\mu}{\sigma}> \frac{160-\mu}{\sigma}\right)=P(Z>2).
  • Usamos a relação entre cauda superior e a função de distribuição acumulada:
P(Z>2)=1-P(Z\le 2)=1-\Phi(2).
  • Pela tabela da normal padrão (ou valores conhecidos), \Phi(2)=0,97725. (Para usar a tabela: buscar a linha 2,0 e a coluna 0,00.)

Passo 6

Calcular o valor numérico final.
  • Substituindo:
P(X>160)=1-0,97725=0,02275.
  • Arredondando de forma adequada (3 casas decimais em probabilidade ou 2 casas em porcentagem):
P(X>160)\approx0,0228,
que em percentagem é aproximadamente 2,28\%.

Passo 7

Interpretação curta e motivação para lembrar na prova.
  • Isso significa que só cerca de 2{,}28\% das doses ultrapassam 160\\ \text{ml}: é um evento raro, porque 160\\ \text{ml} está a 2 desvios-padrão acima da média.
  • Dica rápida para prova: sempre padronize com z=(x-\mu)/\sigma e depois use \Phi (tabela) ou a simetria P(Z>z)=P(Z<-z) para ler valores de tabela mais facilmente.

Resposta

P(X>160)=0,02275\approx0,0228 (aprox. 2,28\%)

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