- Exercício 3: Uma máquina de café serve doses com média de
e desvio padrão de
. Qual a probabilidade de uma dose selecionada ao acaso ter mais de
?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- A máquina serve doses com média
. - O desvio padrão é
.
O que o problema pede: - Calcular a probabilidade de uma dose selecionada ao acaso ter mais de
, ou seja, encontrar onde é a medida da dose.
Passo 2
Escolha do procedimento (explicação rápida e prática).
- Para esse tipo de problema com média e desvio padrão, o caminho padrão é trabalhar com a distribuição normal e usar a padronização para transformar
numa variável normal padrão . Isso permite usar tabelas da normal padrão ou valores conhecidos. - Vou assumir que as doses variam de modo aproximadamente normal (é a suposição usual para medidas de produção/erros aleatórios). Com essa suposição, procedemos padronizando.
Passo 3
O que é a padronização e por que fazemos isso (aula rápida).
- Se
é uma variável normal com média e desvio padrão , escrevemos isso como . - A normal padrão é uma normal com média
e desvio padrão ; chamamos essa variável de e escrevemos . - Para transformar
em usamos a fórmula de padronização:
- Essa fórmula pega a distância entre
e a média e mede essa distância em unidades de desvio padrão . Depois de padronizar, podemos usar a tabela da função de distribuição acumulada da normal padrão, que denotamos por .
Passo 4
Aplicando a padronização ao valor pedido.
- Queremos
. Primeiro calculamos o valor correspondente a pela fórmula:
- Fazendo a conta:
Passo 5
Expressar a probabilidade em termos de
e usar a tabela.
- Temos
- Usamos a relação entre cauda superior e a função de distribuição acumulada:
- Pela tabela da normal padrão (ou valores conhecidos),
. (Para usar a tabela: buscar a linha e a coluna .)
Passo 6
Calcular o valor numérico final.
- Substituindo:
- Arredondando de forma adequada (3 casas decimais em probabilidade ou 2 casas em porcentagem):
que em percentagem é aproximadamente
.
Passo 7
Interpretação curta e motivação para lembrar na prova.
- Isso significa que só cerca de
das doses ultrapassam : é um evento raro, porque está a desvios-padrão acima da média. - Dica rápida para prova: sempre padronize com
e depois use (tabela) ou a simetria para ler valores de tabela mais facilmente.