• Exercício 1: Se X é uma variável aleatória com distribuição normal de média \mu=100 e desvio padrão \sigma=15, calcule o valor de Z (escore padronizado) para x=130.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o escore padronizado Z (também chamado de z-score) para x=130, sabendo que a variável aleatória X tem distribuição normal com média \mu=100 e desvio padrão \sigma=15.
Informações dadas:
  • \mu=100
  • \sigma=15
  • valor observado x=130
O que se pede: encontrar o valor de Z correspondente a x=130.

Passo 2

Conceito e fórmula: o escore padronizado transforma um valor x de uma distribuição normal qualquer numa medida em unidades de desvio padrão, de modo que possamos comparar com a distribuição normal padrão. A fórmula é
Z = \frac{X-\mu}{\sigma}.
Explicando cada símbolo:
  • X é a variável aleatória original.
  • x é um valor observado de X.
  • \mu é a média da distribuição de X.
  • \sigma é o desvio padrão de X.
  • Z é a variável padronizada; para um valor observado x calculamos o escore z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}. A variável Z segue uma distribuição normal padrão com média 0 e desvio padrão 1, isto é, Z\sim N(0,1).
Por que isso é útil: ao padronizar convertemos o problema para a tabela da normal padrão, então por exemplo probabilidades do tipo P(X\le x) viram P(Z\le z).

Passo 3

Agora substituímos os valores do enunciado na fórmula (aqui uso o valor observado x=130):
z \;=\; \frac{130-100}{15}.

Passo 4

Calculo do numerador:
130-100 = 30.

Passo 5

Dividindo pelo desvio padrão:
z = \frac{30}{15} = 2,
porque 15\cdot 2=30. Esse é um cálculo simples que dá exatamente 2.

Passo 6

Interpretação final: z=2 significa que x=130 está duas unidades de desvio padrão acima da média. Em termos de probabilidade, P(X\le 130)=P(Z\le 2), e usando uma tabela ou calculadora da normal padrão obtém-se aproximadamente P(Z\le 2)\approx 0,9772, então P(X>130)\approx 1-0,9772=0,0228. (Essa parte é apenas interpretação — a pergunta original só pedia o valor de Z.)

Passo 7

Resumo rápido para a prova: escreva a fórmula \;z=(x-\mu)/\sigma\;, substitua os números, faça a subtração e divida. Em problemas semelhantes siga exatamente esses passos; é rápido e seguro. Força aí — você já resolveu direitinho!

Resposta

2

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