Como um exercício de aquecimento, encontre f^prime(x) para cada uma das seguintes f.
f(x)=sin (cos xx).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=sin!l(tfraccos xxr). O conteúdo envolvido é a regra da cadeia para funções compostas e a regra do quociente para tfraccos xx.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=cos xx
Para aplicar a regra da cadeia, vamos primeiro calcular u'(x) usando a regra do quociente.

Passo 3

Pela regra do quociente, se u(x)=tfracg(x)h(x) então
u'(x) =g'(x),h(x)-g(x),h'(x)[h(x)]^2
Aqui g(x)=cos x e h(x)=x, logo g'(x)=-sin x e h'(x)=1. Portanto,
u'(x) =(-sin x)cdot x - (cos x)cdot 1x^2 =-,xsin x - cos xx^2 =-xsin x + cos xx^2

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia em f(x)=sinl(u(x)r). Sabemos que ddxsin(u)=cos(u),u'(x). Então
f'(x) =cos!l(u(x)r)cdot u'(x)

Passo 5

Substituindo u(x)=tfraccos xx e u'(x)=-tfracxsin x+cos xx^2, obtemos
f'(x) =cos!l(cos xxr);times;l(-xsin x+cos xx^2r) =-xsin x+cos xx^2,cos!l(cos xxr)

Resposta

f'(x)=-xsin x+cos xx^2,cos!l(cos xxr)

Exercícios relacionados