Questão 5 ( 1,0 ponto). Determine o valor de a para que as retas r e s sejam concorrentes e ache o ponto de interseção, sendo: r: x2=y-3=za e s :lx=3 h-1 y=2 h-5 z=h

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de
se intersectem, e também determinar o ponto de interseção. O conteúdo envolvido é a interseção de retas no espaço usando parâmetros.

Passo 2

Primeiro, parametrizamos a reta r por um parâmetro t:
x=2t, y=-3t, z=a,t
A reta s já está parametricamente em função de h:
x=3h-1, y=2h-5, z=h

Passo 3

Para que as retas se encontrem, deve existir (t,h) tal que
2t = 3h - 1, -3t = 2h - 5, a,t = h

Passo 4

Da terceira equação temos h=a,t. Substituindo em cada uma das duas primeiras:
2t = 3(a,t) - 1 ;Longrightarrow;2t -3a,t = -1 ;Longrightarrow;t(2-3a) = -1 ;Longrightarrow;t = -12-3a
-3t = 2(a,t)-5 ;Longrightarrow;-3t -2a,t = -5 ;Longrightarrow;-t(3+2a)= -5 ;Longrightarrow;t = 53+2a
Igualando as duas expressões de t:
-12-3a = 53+2a ;Longrightarrow;-(3+2a)=5(2-3a) ;Longrightarrow;-3 -2a =10 -15a ;Longrightarrow;13a=13 ;Longrightarrow;a=1

Passo 5

Com a=1, temos
t = -12-3 = 1, h = a,t = 1
O ponto de interseção é dado por, por exemplo, r(t):
P=(2t,,-3t,,a,t)=(2,-3,1)

Resposta

a=1 e o ponto de interseção é (2,-3,1).

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