Solve the given differential equation. If an initial condition is given, also find the solution that satisfies it.
d yd x=e^2 x+3 y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
dydx = e^2x + 3y
Este é um caso de equação linear no formato
dydx + p(x),y = q(x),
onde aqui p(x) = -3 (após rearranjar) e q(x)=e^2x. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação no formato padrão, isolando todos os termos em y de um lado:
dydx -3y = e^2x

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(integral -3,dxr) = e^-3x
Multiplicamos toda a equação por mu(x):

Passo 4

e^-3xdydx -3e^-3xy = e^2xe^-3x
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto y,e^-3x. Então obtemos
ddxl(y,e^-3xr) = e^2x-3x = e^-x

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(y,e^-3xr),dx = integral e^-x,dx Longrightarrow y,e^-3x = -e^-x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolamos y multiplicando por e^3x:
y = l(-e^-x + Cr),e^3x = -e^-xe^3x + C,e^3x = -e^2x + C,e^3x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = C,e^3x ;-; e^2x,
onde C é uma constante arbitrária.

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