Exercício 3: O átomo de hidrogênio no estado fundamental absorve um fóton de luz com comprimento de onda
. Na de-excitação um fóton de comprimento de onda de 486 nm é emitido. Qual é o estado final do átomo de hidrogênio ?
Passo 1
Beleza, aqui o que rolou:
– Um átomo de hidrogênio, começando no estado fundamental (n=1), absorve um fóton com λ₁=97,2 nm.
– Depois, ao “cair”, ele emite um fóton com λ₂=486 nm.
Conteúdo: níveis de energia do átomo de H (modelo de Bohr) e relação energia-comprimento de onda do fóton.
O que vamos usar:
– Um átomo de hidrogênio, começando no estado fundamental (n=1), absorve um fóton com λ₁=97,2 nm.
– Depois, ao “cair”, ele emite um fóton com λ₂=486 nm.
Conteúdo: níveis de energia do átomo de H (modelo de Bohr) e relação energia-comprimento de onda do fóton.
O que vamos usar:
- Eₙ = –13,6 eV / n²
- E_fóton = h·c/λ (em eV a gente usa hc≈1240 eV·nm)
- Para emissão: ΔE = Eₙᵢ – Eₙ𝚏 = E_fóton
Passo 2
Calcular a energia do fóton absorvido (E₁):
E₁ = hc/λ₁ ≃ (1240 eV·nm)/(97,2 nm)
E₁ ≃ 12,75 eV
E₁ = hc/λ₁ ≃ (1240 eV·nm)/(97,2 nm)
E₁ ≃ 12,75 eV
Passo 3
Descobrir para qual n isso leva o átomo:
Estado inicial (n=1) tem E₁ₙ₁ = –13,6 eV
Depois de absorver 12,75 eV, a energia fica:
Eₙ = –13,6 eV + 12,75 eV = –0,85 eV
Agora usamos Eₙ = –13,6 eV / n² →
–0,85 = –13,6 / n² ⇒ n² = 13,6/0,85 = 16 ⇒ n = 4
Estado inicial (n=1) tem E₁ₙ₁ = –13,6 eV
Depois de absorver 12,75 eV, a energia fica:
Eₙ = –13,6 eV + 12,75 eV = –0,85 eV
Agora usamos Eₙ = –13,6 eV / n² →
–0,85 = –13,6 / n² ⇒ n² = 13,6/0,85 = 16 ⇒ n = 4
Passo 4
Calcular a energia do fóton emitido (E₂):
E₂ = hc/λ₂ ≃ (1240 eV·nm)/(486 nm)
E₂ ≃ 2,55 eV
E₂ = hc/λ₂ ≃ (1240 eV·nm)/(486 nm)
E₂ ≃ 2,55 eV
Passo 5
Ver de qual nível (n=4) ele caiu para algum m:
ΔE = E₄ – Eₘ = 13,6 eV·(1/m² – 1/4²) = 2,55 eV
Então:
1/m² – 1/16 = 2,55/13,6 ≃ 0,1875
1/m² ≃ 0,1875 + 0,0625 = 0,25
m² = 4 ⇒ m = 2
ΔE = E₄ – Eₘ = 13,6 eV·(1/m² – 1/4²) = 2,55 eV
Então:
1/m² – 1/16 = 2,55/13,6 ≃ 0,1875
1/m² ≃ 0,1875 + 0,0625 = 0,25
m² = 4 ⇒ m = 2
Resposta
O estado final do átomo de hidrogênio, depois da emissão, é n = 2.