Exercício 2: Mostre que a lei de deslocamento de Wien, que determina o comprimento de onda onde ocorrerá o máximo de emissão do objeto a uma dada temperatura (
) pode ser obtida a partir da distribuição de Planck em função de
.
Passo 1
Beleza, exercício pede pra mostrar que a famosa lei de deslocamento de Wien,
vem direto da distribuição de Planck escrita em função do comprimento de onda
.
Conteúdo: radiação de corpo negro (Planck), cálculo de máximos via derivada.
O que precisamos:
Conteúdo: radiação de corpo negro (Planck), cálculo de máximos via derivada.
O que precisamos:
- a expressão de
(Lei de Planck); - derivar em relação a
e igualar a zero; - fazer a troca de variável
; - resolver a equação resultante e achar
.
Passo 2
Escrevendo a distribuição de Planck em
:
Pra achar o comprimento de onda que dá o pico, a gente faz
Isso é padrão: pra máximo de uma função, deriva, iguala zero e resolve.
Passo 3
Vamos derivar passo a passo. Defina
Então
.
Fazendo a derivada cuidadosa (produto e cadeia), chega-se a
Fazendo a derivada cuidadosa (produto e cadeia), chega-se a
Agora observe que
. Substituindo, vira
Essa é a equação transcendente que dá
.
Passo 4
A gente não resolve
“no lápis” de forma fechada, mas numericamente acha
Passo 5
Voltando ao comprimento de onda de pico:
Multiplicando ambos os lados por
,
Substituindo
,
,
e , dá
e
Resposta
A partir da distribuição de Planck em função de
, derivando e igualando a zero, chegamos à lei de deslocamento de Wien: