Exercício 2: Mostre que a lei de deslocamento de Wien, que determina o comprimento de onda onde ocorrerá o máximo de emissão do objeto a uma dada temperatura ( lambda max cdot T=2,90 times 10^-3 m K ) pode ser obtida a partir da distribuição de Planck em função de lambda.

Passo 1

Beleza, exercício pede pra mostrar que a famosa lei de deslocamento de Wien,
lambdamax , T ;=; 2,90times10^-3,mcdot K,
vem direto da distribuição de Planck escrita em função do comprimento de onda .
Conteúdo: radiação de corpo negro (Planck), cálculo de máximos via derivada.
O que precisamos:
  1. a expressão de (Lei de Planck);
  2. derivar em relação a e igualar a zero;
  3. fazer a troca de variável ;
  4. resolver a equação resultante e achar .

Passo 2

Escrevendo a distribuição de Planck em B(lambda,T) =2hc^2lambda^5,1e^hclambda kT-1 :
dBdlambda=0
Pra achar o comprimento de onda que dá o pico, a gente faz
Isso é padrão: pra máximo de uma função, deriva, iguala zero e resolve.

Passo 3

Vamos derivar passo a passo. Defina
A ;=;hckT e x ;=;Alambda =hclambda kT
Então A,e^x ;=;5,lambda,(e^x - 1) .
Fazendo a derivada cuidadosa (produto e cadeia), chega-se a
x,e^x ;=;5,(e^x - 1)
Agora observe que . Substituindo, vira
Essa é a equação transcendente que dá .

Passo 4

A gente não resolve x approx 4,9651 “no lápis” de forma fechada, mas numericamente acha

Passo 5

Voltando ao comprimento de onda de pico:
lambdamax =Ax =hckT,x
Multiplicando ambos os lados por lambdamax,T =hck,1x ,
lambdamax,T approx 2,90times10^-3,mcdot K
Substituindo ,
,

e , dá

Resposta

A partir da distribuição de Planck em função de boxedlambdamax,T = 2,90times10^-3,mcdot K , derivando e igualando a zero, chegamos à lei de deslocamento de Wien:

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