Exercício 1: Na aula passada resolvemos um exercício sobre um experimento envolvendo uma reação química em que medimos o valor da constante de velocidade em função da temperatura.
T(\mathrm{~K}) 313,0 319,0 323,0 328,0 333,0
1000 \cdot k\left(\mathrm{~s}^{-1}\right) 0,43 1,03 1,80 3,55 7,17
Descobrimos que essa constante pode ser representada pela equação
k(T)=\underbrace{\left(8,03 \times 10^{16} \mathrm{~s}^{-1}\right)}_{\mathcal{A}} \exp [-\underbrace{\frac{\overbrace{121500 \frac{\mathrm{~J}}{\mathrm{~mol}}}}{\left(8,314 \frac{\mathrm{~J}}{\mathrm{~mol} \cdot \mathrm{~K}}\right)} \times T(\mathrm{~K})}_{R}]
Calcule a constante de taxa de reação a 323,0 \mathrm{~K} se for usado um catalisador que reduz a energia de ativação da reação para 100 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}. Quantas vezes maior fica constante?

Passo 1

O enunciado dá uma tabela de medidas de temperatura e de 1000\cdot k (não é preciso usar toda a tabela aqui, só o ponto pedido) e fornece a forma da lei de Arrhenius usada:
k(T)=\mathcal{A}\,\exp\!\left[-\frac{E_a}{R\,T}\right]
As informações relevantes que vamos usar são:
  • T=323{,}0\\ \mathrm{K} (valor pedido);
  • \mathcal{A}=8{,}03\times10^{16}\\ \mathrm{s}^{-1} (pré-exponencial);
  • energia de ativação sem catalisador E_a=121500\\ \mathrm{J/mol} (dado no enunciado);
  • constante dos gases R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)};
  • com catalisador a energia de ativação passa a E_a'=100\\ \mathrm{kJ/mol}=100000\\ \mathrm{J/mol}.
O que o problema pede:
  1. Calcular k em T=323{,}0\\ \mathrm{K} usando E_a'=100000\\ \mathrm{J/mol}.
  2. Determinar quantas vezes maior fica k com o catalisador (isto é, calcular \dfrac{k'}{k}, razão entre constante catalisada e não catalisada).

Passo 2

Primeiro, explicação da fórmula (passo-a-passo e com significado das variáveis).
A lei de Arrhenius usada é
k(T)=\mathcal{A}\,\exp\!\left[-\frac{E_a}{R\,T}\right],
onde:
  • \mathcal{A} é o fator pré-exponencial (frequência de colisões favoráveis), em \mathrm{s}^{-1};
  • E_a é a energia de ativação, em \mathrm{J/mol};
  • R é a constante dos gases universais, em \mathrm{J/(mol\cdot K)};
  • T é a temperatura absoluta, em \mathrm{K}.
    Para comparar as duas constantes (com e sem catalisador) é útil usar a razão direta:
\frac{k'}{k}=\frac{\mathcal{A}\,e^{-E_a'/(R T)}}{\mathcal{A}\,e^{-E_a/(R T)}} = \exp\!\left[\frac{E_a-E_a'}{R T}\right].
Isso mostra que \mathcal{A} cancela: a alteração depende só da diferença de energias de ativação e de R T.

Passo 3

Calculemos R T em T=323{,}0\\ \mathrm{K}:
R T = 8{,}314\cdot 323{,}0 = 2685{,}422\\ \mathrm{J/mol}.
Agora o caso sem catalisador (para termos a referência; isto também confirma que os números batem com a tabela):
\frac{E_a}{R T}=\frac{121500}{2685{,}422}=45{,}2443\\ \text{(adimensional)}.
Logo
\exp\!\left(-\frac{E_a}{R T}\right)\approx 2{,}239\times10^{-20}.
Multiplicando por \mathcal{A}:
k=\mathcal{A}\,e^{-E_a/(R T)}=(8{,}03\times10^{16})\cdot(2{,}239\times10^{-20}) \approx 1{,}80\times10^{-3}\\ \mathrm{s}^{-1}.
(Esse valor confirma a ordem de grandeza apresentada na tabela: 1000\cdot k\approx1{,}80.)

Passo 4

Agora calculamos k' com o catalisador ( E_a'=100000\\ \mathrm{J/mol}):
\frac{E_a'}{R T}=\frac{100000}{2685{,}422}=37{,}2368.
Então
\exp\!\left(-\frac{E_a'}{R T}\right)\approx 6{,}740\times10^{-17}.
Multiplicando por \mathcal{A}:
k'=\mathcal{A}\,e^{-E_a'/(R T)}=(8{,}03\times10^{16})\cdot(6{,}740\times10^{-17}) \approx 5{,}41\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 5

Calculemos a razão \dfrac{k'}{k} de duas maneiras (verificação):
  1. Usando os valores numéricos já obtidos:
\frac{k'}{k}\approx\frac{5{,}41}{1{,}80\times10^{-3}}\approx 3{,}01\times10^{3}.
  1. Usando a fórmula direta de razão (menos cálculo, mostra a dependência exponencial):
\frac{k'}{k}=\exp\!\left(\frac{E_a-E_a'}{R T}\right) =\exp\!\left(\frac{121500-100000}{2685{,}422}\right) =\exp(8{,}0075)\approx 3{,}01\times10^{3},
o que confirma o resultado. Portanto, com o catalisador a constante de velocidade em 323{,}0\\ \mathrm{K} aumenta em aproximadamente 3{,}01\times10^{3} vezes (ou cerca de 3010 vezes).

Passo 6

Interpretação rápida (útil para a prova): reduzir E_a em cerca de 21{,}5\\ \mathrm{kJ/mol} a essa temperatura aumenta fortemente a probabilidade de atravessar a barreira energética, e por isso k cresce exponencialmente — aqui em três ordens de magnitude. Se em prova pedirem a razão, lembrar da forma \dfrac{k'}{k}=\exp\!\big((E_a-E_a')/(R T)\big): isso evita ter de recalcular \mathcal{A} duas vezes.

Resposta

k'(323{,}0\\ \mathrm{K})\approx 5{,}41\\ \mathrm{s}^{-1}
k'(323{,}0\\ \mathrm{K}) fica \approx 3{,}01\times10^{3} vezes maior que k(323{,}0\\ \mathrm{K}).

Exercícios relacionados