Exercício1: Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
\int \operatorname{sen}\left(\frac{3 x}{2}\right) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sin\!\bigl(\tfrac{3x}{2}\bigr)\,dx
usando a técnica de substituição. O conteúdo aqui é integração de uma função composta, em que identificamos o argumento do seno como nova variável.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = \frac{3x}{2}.
Diferenciando, obtemos
du = \frac{3}{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{2}{3}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral:
\int \sin\!\bigl(\tfrac{3x}{2}\bigr)\,dx = \int \sin(u)\,\frac{2}{3}\,du = \frac{2}{3}\int \sin(u)\,du = -\frac{2}{3}\cos(u) + C.

Passo 4

Voltando à variável x, como u = \tfrac{3x}{2}, a primitiva fica
-\frac{2}{3}\cos\!\bigl(\tfrac{3x}{2}\bigr) + C.

Resposta

\int \sin\!\bigl(\tfrac{3x}{2}\bigr)\,dx = -\frac{2}{3}\cos\!\bigl(\tfrac{3x}{2}\bigr) + C.

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