Exercício 3: Para avaliar o rendimento de um reator, geralmente estamos mais interessados na conversão do que no número de mols de reagente obtido na saída do reator. Considere um reator de tanque agitado contínuo no estado estacionário e com volume constante.
a) Partindo da equação do balanço material, deduza a equação de projeto do CSTR, uma fórmula que relaciona a conversão \left(X_{A}\right) à concentração de entrada ( C_{A_{0}} ), vazão volumétrica ( v ), volume do reator ( v ) e taxa de reação \left(r_{A}\right).
b) Suponha que a taxa de reação pode ser representada por uma cinética de 1^{\text {a }} ordem. Deduza uma fórmula que relacione a conversão à concentração de entrada, ao tempo espacial \left(\tau=\frac{V}{v}\right) e à constante de taxa de reação (k).
c) Calcule novamente a conversão no reator do Exercício 2 usando a fórmula que você deduziu no item b).

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) Partindo do balanço material para um CSTR (reator de tanque agitado contínuo) em estado estacionário e volume constante, deduzir a equação de projeto que relaciona a conversão \(X_{A}) com a concentração de entrada \(C_{A0}), a vazão volumétrica \(v), o volume do reator \(V) e a taxa de reação \(r_{A}).
  • (b) Supondo cinética de primeira ordem, deduzir uma fórmula que relacione a conversão à concentração de entrada, ao tempo espacial \(\tau=\dfrac{V}{v}) e à constante de velocidade \(k).
  • (c) Calcular a conversão no reator do Exercício 2 usando a fórmula do item (b).
As informações dadas / símbolos que vamos usar:
  • \(C_{A0}): concentração de entrada de A (mol/L).
  • \(v): vazão volumétrica (L/s, ou outra unidade volumétrica/tempo).
  • \(V): volume do reator (L).
  • \(r_A): taxa de reação volumétrica (mol·L{-1}·s{-1}); atenção ao sinal (ver explicação abaixo).
  • \(X_A): conversão de A, definida como \(X_A=\dfrac{C_{A0}-C_A}{C_{A0}}).
  • \(\tau=\dfrac{V}{v}): tempo espacial (residence time).
Observação importante para o item (c): o enunciado refere-se ao “reator do Exercício 2”, mas o Exercício 2 não foi enviado aqui. Portanto não há dados numéricos (por ex. k, V, v ou \tau) disponíveis para calcular a conversão. Logo, o cálculo numérico pedido no item (c) não é possível com as informações fornecidas. Vou deduzir (a) e (b) e explicar claramente como calcular (c) assim que os dados estiverem disponíveis.

Passo 2

Definições e ideias físicas (passo-a-passo, didático e com exemplos simples):
  • Molar flow (vazão molar) de A na corrente: \(F_A = v\,C_A). Explicação: a vazão volumétrica \(v) (por ex. L/s) multiplicada pela concentração \(C_A) (mol/L) dá mol/s que saem pela corrente.
  • Conversão \(X_A) mede a fração de A que reagiu: \[ X_A = \dfrac{C_{A0}-C_A}{C_{A0}}. \] Ex.: se C_{A0}=1{,}0\\ \mathrm{mol/L} e C_A=0{,}4\\ \mathrm{mol/L}, então \(X_A=0{,}6) (60% convertido).
  • Taxa volumétrica de reação \(r_A): é a velocidade da reação por unidade de volume (mol·L{-1}·s{-1}). Atenção ao sinal: frequentemente r_A é escrito negativo para consumo (ou seja, r_A<0 se A é consumido). Na equação de balanço abaixo usaremos a convenção padrão do balanço com \(r_A) possivelmente negativo e mostrarei como tratar o sinal para obter fórmulas práticas.

Passo 3

Escrever o balanço material de A para o CSTR em estado estacionário (acumulação nula):
  • Termos do balanço (por unidade de tempo, mol/s):
    • Entrada: \(F_{A0}=v\,C_{A0}).
    • Saída: \(F_A=v\,C_A).
    • Geração/consumo por reação (no volume do reator): \(V\,r_A) (mol/s). Se r_A é negativo (consumo), este termo será negativo.
  • Balanço em regime permanente (acumulação = 0):
F_{A0} - F_A + V\,r_A = 0.
Substituindo F_{A0}=v\,C_{A0} e F_A=v\,C_A:
v\,C_{A0} - v\,C_A + V\,r_A = 0.
Reorganizando:
v\,(C_{A0}-C_A) = -V\,r_A.
Agora usar a definição de conversão \(X_A=\dfrac{C_{A0}-C_A}{C_{A0}}). Multiplicando ambos os lados por 1/C_{A0}:
v\,C_{A0}\,X_A = -V\,r_A.
Finalmente isolando X_A:
X_A = \dfrac{-V\,r_A}{v\,C_{A0}}.
Esta é a forma direta pedida: relaciona a conversão com \(C_{A0}), \(v), \(V) e \(r_A). Observações práticas:
  • Na aplicação, \(r_A) deve ser avaliada nas condições do escoamento de saída, ou seja, usando \(C_A = C_{A0}(1-X_A)).
  • Alternativamente, a equação de projeto do CSTR é frequentemente escrita isolando V:
V = \dfrac{v\,C_{A0}\,X_A}{-r_A},
onde -r_A é a velocidade de consumo (valor positivo) avaliada na concentração de saída.

Passo 4

Interpretação do sinal e dica prática para prova (não se assuste com sinais):
  • Se a cinética é dada como \(r_A = -k\,C_A^n) (o sinal negativo mostra consumo), então -r_A = k\,C_A^n é positivo. Substituir -r_A na fórmula acima evita confusão de sinais.
  • Em provas, costuma ser mais seguro usar a forma
V = \dfrac{v\,C_{A0}\,X_A}{-r_A(C_A)},
ou seja, sempre avaliar -r_A (velocidade de consumo, positiva) na concentração de saída \(C_A=C_{A0}(1-X_A)).

Passo 5

Item (b): cinética de primeira ordem. Vamos deduzir a fórmula pedida, passo a passo.
  • Para reação de primeira ordem (irreversível, A\to produtos), a expressão usual é
r_A = -k\,C_A,
onde \(k>0) é a constante de velocidade (s^{-1}) e o sinal negativo indica consumo de A.
  • Então -r_A = k\,C_A.
  • Substituir na equação de projeto do CSTR (forma V = \dfrac{v\,C_{A0}\,X_A}{-r_A}):
V = \dfrac{v\,C_{A0}\,X_A}{k\,C_A}.
  • Substituir \(C_A = C_{A0}(1-X_A)):
V = \dfrac{v\,C_{A0}\,X_A}{k\,C_{A0}(1-X_A)}.
Cancelar C_{A0}:
V = \dfrac{v\,X_A}{k(1-X_A)}.
  • Dividir ambos os lados por v para introduzir o tempo espacial \(\tau=\dfrac{V}{v}):
\tau = \dfrac{X_A}{k(1-X_A)}.
  • Isolar X_A. Multiplicando ambos os lados por k(1-X_A):
k\tau(1-X_A) = X_A.
Expandindo e resolvendo para X_A:
k\tau - k\tau X_A = X_A \quad\Rightarrow\quad k\tau = X_A(1 + k\tau).
Logo:
X_A = \dfrac{k\tau}{1 + k\tau}.
Esta é a fórmula pedida que relaciona a conversão à constante de velocidade \(k) e ao tempo espacial \(\tau). Observações intuitivas e úteis para prova:
  • Se k\tau \ll 1 então X_A \approx k\tau (conversão pequena; regime cineticamente limitado).
  • Se k\tau \gg 1 então X_A \to 1 (quase conversão completa).
  • A fórmula não depende explicitamente de \(C_{A0}) para cinética de primeira ordem (o efeito de C_{A0} cancela), embora C_{A0} entre indiretamente se for necessário calcular r_A em leis de ordem diferente.

Passo 6

Item (c): aplicação numérica — por que não posso calcular agora e o que fazer quando tiver os dados.
  • O enunciado pede para “Calcule novamente a conversão no reator do Exercício 2 usando a fórmula do item b)”. Contudo o Exercício 2 não foi incluído nesta mensagem: não há valores numéricos de \(k), \(V), \(v) ou \(\tau) disponíveis aqui.
  • Portanto não é possível fornecer um valor numérico para a conversão do reator do Exercício 2 sem esses dados.
  • O procedimento que deve ser seguido quando os dados estiverem disponíveis é simples:
    1. Calcular \(\tau = \dfrac{V}{v}) (ou usar o \tau diretamente, se fornecido).
    2. Usar a constante k (mesmas unidades de \tau^{-1}).
    3. Calcular \(X_A = \dfrac{k\tau}{1+k\tau}).
  • Exemplo numérico ilustrativo (apenas para treinar): se \(k=0{,}1\\ \mathrm{s^{-1}}) e \(\tau=10\\ \mathrm{s}), então k\tau=1 e X_A=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}=0{,}5 (50% conversão). Atenção: este exemplo é inventado só para mostrar o cálculo; não é o cálculo do Exercício 2.

Resposta

(a) \displaystyle X_A = \dfrac{-V\,r_A}{v\,C_{A0}}
(b) \displaystyle X_A = \dfrac{k\,\tau}{1 + k\,\tau}
(c) Não é possível calcular: o Exercício 2 não foi fornecido, portanto faltam os dados numéricos necessários (por exemplo \,k e \tau=V/v ou V e v).

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